평균필터(Average Filter)
2019, Jun 22
- 출처 : 칼만필터는 어렵지 않아
- 평균은 데이터의 총합을 데이터 갯수로 나눈 값을 말합니다.
- 수식으로 정의하면 다음과 같습니다.
- \[\bar{x_{k}} = \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{k}}{k}\]
- 위 식 처럼 데이터를 모두 모아서 한꺼번에 계산하는 식을 배치식(batch expression) 이라고 합니다.
- 이러한 batch expression의 문제점은 데이터가 추가 되면 모든 데이터를 다시 더한 후 k + 1 로 나눠야 한다는 비효율적인 면이 있습니다.
- 반면 이번 글에서 살펴볼
재귀식(recursive expression)을 사용하면 이전 결과를 다시 활용하기 때문에 효율적입니다. 재귀식은 이전 결과를 사용하기 때문에 계산 효율과 메모리 저장공간의 측면에서 유리합니다.- 데이터가 수백만개를 넘어가면 매번 모든 값을 합하는 계산은 상당히 느려지기 떄문에 배치식은 상당히 불리합니다.
- 또한 배치식에서는 평균을 구하려면 데이터를 모두 저장하고 있어야 하지만,
재귀식은 이전 평균값과 추가된 데이터 그리고 데이터 갯수만 저장하면 됩니다.
- 위의 배치식을 재귀식으로 바꿔보도록 하겠습니다.
- \[\bar{x}_{k} = \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{k}}{k}\]
- 위 식의 양변에 k를 곱합니다.
- \[k \ \bar{x}_{k} = x_{1} + x_{2} + ... + x_{k}\]
- 위 식의 양변을
k-1로 나눈 뒤, \(x_{k}\)만 따로 분리해서 우변을 두 개의 항으로 나누어 보겠습니다.
- \[\frac{k}{k-1} \bar{x}_{k} = \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{k}}{k-1} = \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{k-1}}{k-1} + \frac{x_{k}}{k-1}\]
- \[\frac{k}{k-1} \bar{x}_{k} = \bar{x}_{k-1} + \frac{x_{k}}{k-1}\]
- 이제 양변을 \(\frac{k}{k-1}\)로 나누어 보겠습니다.
- \[\bar{x}_{k} = \frac{k-1}{k} \bar{x}_{k-1} + \frac{1}{k} x_{k}\]
- 즉, 평균을 계산하려면 직전 평균값인 \(\bar{x}_{k-1}\)과 데이터의 갯수 \(k\) 그리고 새로 추가된 데이터 \(x_{k}\)만 있으면 됩니다.
- 식을 좀 더 간결하게 나타내려면 우변의 변수에 곱해지는 상수의 관계를 확인해 보면 됩니다.
- \[\alpha = \frac{k-1}{k}\]
- \[\alpha = \frac{k-1}{k} = 1 - \frac{1}{k}\]
- \[\frac{1}{k} = 1 - \alpha\]
- 따라서 \(\bar{x}_{k} = \frac{k-1}{k} \bar{x}_{k-1} + \frac{1}{k} x_{k} = \alpha \bar{x}_{k-1} + (1-\alpha)x_{k}\) 관계가 성립합니다.
- 위 식을
평균 필터(averaging filter)라고 합니다.
- 평균 필터는 평균 계산 외에 센서 초기화에도 유용하게 사용됩니다. 체중계의 경우 무게 센서는 여러 이유로 영점이 바뀌게 되는데 처음 일정 시간동안의 센서값의 평균을 초기값으로 잡아 영점을 잡으면 초기화 작업을 쉽게 할 수 있습니다.
- 만약 이 작업을 배치식으로 하면 메모리 값도 많이 필요하게 됩니다. 하지만 재귀식을 이용하면 이전 스텝의 값과 샘플의 갯수만 기억하면 됩니다.
평균 필터 C 코드
int num_of_sample;
double prev_average;
double AvgFilter(double x){
double average, alpha;
// 샘플 수 +1 (+1 the number of sample)
num_of_sample += 1;
// 평균 필터의 alpha 값 (alpha of average filter)
alpha = (num_of_sample - 1) / (num_of_sample + 0.0);
// 평균 필터의 재귀식 (recursive expression of average filter)
average = alpha * prev_average + (1 - alpha) * x;
// 평균 필터의 이전 상태값 업데이트 (update previous state value of average filter)
prev_average = average;
return average;
}
- 정리하면 재귀식인 평균 필터를 사용하면 직전 평균값과 데이터 갯수만 알아도 쉽게 평균을 구할 수 있습니다.
- 특히 데이터가 순차적으로 입력되는 경우 평균 필터를 사용하면 데이터를 저장할 필요가 없고 계산 효율도 높습니다.
- 만약 데이터를 실시간으로 처리해야 한다면 재귀식 형태의 필터가 필수 입니다.
- 그리고 평균을 취함으로써 노이즈가 제거되는 효과 또한 있습니다.