칼만필터 인트로덕션

출처: Understanding Kalman Filters (Mathworks), Bayesian Inference : Kalman filter에서Optimization까지

이번 글에서는 칼만 필터와 관련하여 전체적으로 한번 살펴보려고 합니다. 전체 내용을 한번 쓱 살펴보겠습니다.
칼만 필터는 루돌프 칼만에 의해서 개발된 Optimal estimation algorithm입니다.
현재 내비게이션, 컴퓨터 비전, 신호 처리 등등 다양한 분야에서 사용중에 있고 최초로 사용된 것은 아폴로 프로젝트 였다고 전해집니다.
그러면 칼만 필터는 언제 사용될까요?
주로 사용 되는 것은 알고 싶은 변수를 직접적으로 확인할 수는 없고 변수를 간접적인 방법으로 유도 해서 알아내야 할 때 사용할 수 있습니다.
- 예를 들면 직접적으로 확인하고 싶은 곳이 너무 온도가 높거나 아니면 외부 환경이라서 센서를 설치할 수 없는 경우가 있습니다.
또는 다양한 센서들을 통하여 값을 측정할 수는 있지만 노이즈가 발생할 때 노이즈 문제를 개선하기 위한 경우에 사용할 수 있습니다.

State Observer

그러면 칼만 필터의 내용에 대하여 한번 접근해 보겠습니다. 첫번째로 다룰 개념은 State Observer입니다.
state 즉, 상태를 관찰한다는 것은 무엇을 의미할까요? 이것은 우리가 직접적으로 확인하거나 관측하기 어려운 것을 예측하는 것이라고 생각하면 됩니다.
예를 들어 다른 사람의 기분이 어떤지 알고 싶은데, 그것을 우리가 직접적으로 그 사람의 마음을 확인할 수 있는 방법은 없습니다.
대신에 말을 걸거나 어떤 상호 작용을 해보고 그 사람의 표정이나 태도 같은 것으로 통하여 간적접으로 그 사람의 기분을 예상해볼 수 있습니다.
이렇게 직접적으로 확인하기는 어려워서 간접적인 방법으로 확인한 상태를 Estimated state 라고 하고 기호로 \(\hat{x}\) 라고 적겠습니다.

만약 우주 여행을 한다고 한다고 한다면(?), 제트 엔진 내부의 온도를 지속적으로 모니터링 해주어서 고장이 나지 않도록 해야 합니다.
제트 엔진 내부의 온도를 직접적으로 추정하는 게 좋겠지만 센서가 열 때문에 녹아버리기 때문에 간접적으로 엔진 외부 센서를 통하여 추정을 해야 합니다.
여기서 제트 엔진 내부 온도를 직접적으로 확인 하기 어려워 추정한다는 것은 마치 다른 사람의 마음을 추정하는 앞의 예제와 똑같은 상황입니다.
위 그림과 같이 제트 엔진 외부에 장착한 센서는 엔진 외부의 온도를 직접적으로 관측할 수 있습니다. 이 온도를 \(T_{ext}\) 라고 하겠습니다. 그리고 제트 엔진 내부의 온도는 \(T_{in}\)이라고 하겠습니다.

위 그림과 같이 연료 \(w_{fuel}\)을 투입하면 제트 엔진에서 소비를 할 것이고 이 때, \(T_{in}\)의 변화가 있을 것입니다. 그리고 제트 엔진 외부에서 직접 \(T_{ext}\)를 관측할 수 있습니다.
여기서 문제는 우리가 알고 싶은 \(T_{in}\)을 알 수 없다는 것이고 이것은 모델을 이용하여 간접적으로 구해야 합니다.
앞에서 설명하였듯이 hat은 예측값을 말합니다. 따라서 \(\hat{T}_{in}\)은 어떤 수학적인 모델을 이용하여 예측한 제트 엔진 내부 온도이고 \(\hat{T}_{ext}\) 또한 수학적 모델을 통하여 예측한 제트 엔진 외부의 온도입니다.
그러면 실제로 비교할 수 있는 것은 센서를 이용하여 직접 관측한 외부 온두 \(T_{ext}\)와 수학적 모델로 예측한 \(\hat{T}_{ext}\)인데, 이 두 값의 오차를 최소화 한다면 수학적 모델이 좀 더 강건해질 것입니다.
모델이 강건해 지면 \(\hat{T}_{in}\) 또한 실제 값과 가까워 질 것으로 기대할 수 있습니다. 즉, 우리가 직접적으로 \(T_{in}\)을 구할 수는 없지만 모델을 강건하게 만들어 \(\hat{T}_{in}\)을 \(T_{in}\)에 수렴하도록 만들도록 하는 것이 우리의 목표가 되겠습니다.
- 이 목표를 달성하기 위해 사용 하는 것이 \(T_{ext}, \hat{T}_{ext}\) 두 값이 되겠습니다.