코시 슈바르츠 부등식의 증명

출처 : 칸 아카데미 선형대수학 (https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces)

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이번 글에서는 Cauchy-Schwarz inequality(코시 슈바르츠 부등식)에 대하여 알아보겠습니다.

• 코시 슈바르츠 부등식은 \(\vert \vec{x} \cdot \vec{y} \vert \le \| \vec{x} \| \ \|\vec{y}\|\) 관계를 가집니다.
  • 좌변의 \(\vert \vec{x} \cdot \vec{y} \vert\) 는 절대값을 뜻합니다.
• 특히, \(\vec{x} = c\vec{y}\) 인 경우에는 \(\vert\vec{x} \cdot \vec{y} \vert = \| \vec{x} \| \ \|\vec{y}\|\) 관계를 가집니다.
• 코시 슈바르츠 부등식의 증명을 위하여 벡터의 길이는 항상 0이상의 값을 가짐을 생각해 봅시다.
  • 벡터의 길이는 루트값이기 때문에 실수 범위에서는 항상 0보다 크거나 같아야 합니다.
• 식을 증명하기 위해서 \(p(t) = \| t\vec{y} - \vec{x} \|^{2}\) 을 이용하겠습니다. 이 식은 벡터의 길이 이므로 0보다 크거나 같습니다.
• p(t)를 전개하면 위의 슬라이드와 같이 전개할 수 있습니다.

• 전개한 식은 p(t)에 대한 식이므로 변수 t에 대한 2차 식으로 정리하기 위하여 \(\vec{y} \cdot \vec{y} = a , \ 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = b, \ \vec{x} \cdot \vec{x} = c\) 로 치환해 보겠습니다.
• 위의 슬라이드와 같이 전개하면 최종적으로 \(4ac \ge b\)로 정리할 수 있습니다.
• 앞에서 정의한 a, b, c를 \(4ac \ge b\)에 대입해 보겠습니다.

• 최종적으로 식을 정리하면 \(\vert\vec{x} \cdot \vec{y} \vert \le \| \vec{x} \| \ \|\vec{y}\|\) 관계를 유도할 수 있습니다.
• 더 나아가서 \(\vec{x} = c\vec{y}\) 라고 정의하고 대입한 후 식을 정리하면 \(\vert\vec{x} \cdot \vec{y} \vert = \| \vec{x} \| \ \|\vec{y}\|\) 관계를 유도할 수 있습니다.
• 코시 슈바르츠 부등식은 선형대수학의 증명에서 자주 사용됩니다.
• 다음 강의에서는 벡터의 내적과 코시슈바르츠 부등식이 어떻게 사용되는지 알아보겠습니다.