평면 방정식의 법선 벡터

출처 : 칸 아카데미 선형대수학 (https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces)

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이번 글에서는 평면방정식의 법선벡터에 대하여 알아보도록 하겠습니다.
이번 글에서는 평면 방정식 $A x + B y + C z = D$ 가 있을 때, 이 평면에 Normal한 법선 벡터의 식을 유도합니다.
- 법선 벡터 $\vec{n} = A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k}$ 입니다.

$Drawing$

위 슬라이드와 같이 공간상에 노란색 평면이 있다고 가정하겠습니다.
평면 상에 노란색 점과 초록색 점이 존재한다고 가정하겠습니다.
- 노란색 점 $(x, y, z)$ 과 초록색 점 $(x_{P}, y_{P}, z_{P})$ 을 원점과 연결하여 벡터 2개를 위 슬라이드 처럼 만듭니다.
- 노란색 벡터 $\vec{P} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$
- 초록색 벡터 $\vec{P_{1}} = x_{P}\hat{i} + y_{P}\hat{j} + z_{P}\hat{k}$
노란색 점과 초록색 점을 이은 벡터는 평면 상에 존재 하게 됩니다.
- 하늘색 벡터 $\vec{P} - \vec{P_{1}}$ 는 평면상에 존재합니다.
평면과 수직인 보라색 법선 벡터 $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ 라고 하겠습니다.

$Drawing$

평면상의 하늘색 벡터와 법선 벡터는 직교하므로 내적은 0이 되어야 합니다.
하늘색 벡터 $\vec{P} - \vec{P_{1}} = (x - x_{P})\hat{i} + (y - y_{P})\hat{j} + (z - z_{P})\hat{k}$
· $\to n \cdot (\to P -_{1}) = a x - a x_{P} + b y - b y_{P} + c z - c z_{P} = 0$
- 하늘색 벡터와 보라색 법선 벡터를 내적합니다.
· $a x + b y + c z = a x_{P} + b y_{P} + c z_{P}$
- 두 벡터의 내적한 결과의 좌변과 우변이 x, y, z 각각에 대응 되도록 정리합니다.
평면의 방정식이 $A x + B y + C z = D$ 이므로 위 식과 대응해서 보면
- a와 A, b와 B, c와 C 그리고 우변 전체( $ax_{P} + by_{P} + cz_{P}$ )와 D를 대응할 수 있습니다.
따라서 어떤 평면의 방정식이 주어진다면 그에 수직인 법선 벡터는 $\to n = A^i + B^j + C^k$ 임을 알 수 있습니다.
- 즉 계수만 뽑아내면 식을 정의할 수 있습니다.
평면 방정식의 D는 면을 이동시키기는 하지만 면의 기울기에는 영향을 미치지 않습니다.
- 따라서 법선 벡터를 정의하는 데 전혀 영향을 끼치지 않으므로 어떤 값이 있더라도 상관 없습니다.
그래프 아래에 보면 간단한 예제가 있으니 참조하시면 됩니다.