벡터 삼중적의 확장

출처 : 칸 아카데미 선형대수학 (https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces)

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이번 글에서는 벡터 삼중적의 확장에 대하여 알아보도록 하겠습니다. 간단하게 말해서 세개의 3차워 벡터의 외적을 내적으로 변환하는 방법입니다.

• ·\(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})\)입니다.
• 이번 강의에서는 위 식이 어떻게 유도되는지 알아보도록 하겠습니다.
• 변환 식을 이용하면 계산 복잡도를 줄일 수 있어서 유용합니다.

• 벡터의 외적 성질에 맞게 전개 합니다.
• 위의 슬라이드에서 \(i, j, k\)는 단위 벡터 입니다.
• ·\(\vec{a} = [a_{x}, a_{y}, a_{z}], \vec{b} = [b_{x}, b_{y}, b_{z}], \vec{c} = [c_{x}, c_{y}, c_{z}]\) 입니다.
• 위 슬라이드의 보라색 식 전개는 \(\vec{b} \times \vec{c}\) 이고 자주색 전개는 \(\vec{a}\) 와 \(\vec{b} \times \vec{c}\) 간의 외적 입니다.

• ·\(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})\)의 결과 또한 3차원 벡터입니다.
• 위 슬라이드와 같이 정리하면 벡터의 값은 다음과 같이 정리 됩니다.
  • ·\(((\vec{a} \cdot \vec{c})b_{x} - (\vec{a} \cdot \vec{b})c_{x})\hat{i}\)
  • ·\(((\vec{a} \cdot \vec{c})b_{y} - (\vec{a} \cdot \vec{b})c_{y})\hat{j}\)
  • ·\(((\vec{a} \cdot \vec{c})b_{z} - (\vec{a} \cdot \vec{b})c_{z})\hat{k}\)

• 마지막으로 단위 벡터로 정리된 값들을 정리해 보면 다음과 같습니다.
  • ·\((\vec{a} \cdot \vec{c})(b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k}) - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}\)
  • ·\(b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k} = \vec{b}\) 로 정리하면
  • ·\(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})\) 입니다.