평면 사이의 거리

출처 : 칸 아카데미 선형대수학 (https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces)

$Drawing$

먼저 3개의 점을 이용하여 2개의 벡터를 만들어 보겠습니다.
·$\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{4}$ 식을 만족하는 두 개의 점을 구하면
- (1, 2, 3)과 (3, 5, 7) 이 있습니다.
- 이 두 점을 이용하여 벡터를 구하면 $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$가 됩니다.
  - (3, 5, 7) - (1, 2, 3)
·$\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ 식을 만족하는 점 하나와 첫 번째 식에서 사용한 점 (1, 2, 3)을 이용해서 벡터를 만들겠습니다.
- 즉 첫 번째 식을 통해 도출한 점 (1, 2, 3)과 두 번째 식을 통해 도출한 점 (2, 3, 4)가 있습니다.
- 이 두 점을 이용하여 벡터를 구하면 $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ 입니다.
  - (2, 3, 4) - (1, 2, 3)
즉, (1, 2, 3)을 벡터의 시작점으로 공유하는 두 벡터 $\vec{a}, \vec{b}$가 만들어 집니다.
이 때, 두 벡터 $\vec{a}, \vec{b}$ 모두와 직교인 벡터를 외적을 통해서 구하면
- 위 슬라이드의 식을 참조하면 $\vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} = \vec{n}$이 됩니다.

$Drawing$

임의의 점 (x, y, z)가 $\vec{a}, \vec{b}$를 이용하여 생성한 평면(파란색 평면)에 있다고 가정하겠습니다.
(x, y, z)와 (3, 5, 7)을 연결한 벡터는 앞에서 정의한 $\vec{n}$과 직교한 관계를 가집니다.
따라서 $\vec{n} \dot ((x - 3)\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (z - 7)\hat{k} ) = 0$ 입니다.
- ·$(-\hat{i} + 2\hat{j} -\hat{k}) \dot ((x - 3)\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (z - 7)\hat{k}) = 0$
  - i의 계수 : $-(x-3)$
  - j의 계수 : $2(y-5)$
  - k의 계수 : $-(z-7)$
- ·$3-x + 2y-10 + 7-z = 0$
- ·$x - 2y + z = 0$ : 파란색 면의 식을 정의하였습니다.
우리가 구해야 할 빨간색 면의 식은 $Ax -2y + z = d$ 입니다.
빨간색 면과 파란색 면은 평행하기 때문에 A = 1이 되어 빨간색 평면의 식을 정의하면
- ·$x -2y + z = d$가 됩니다.
앞에 글을 참조하여 점과 평면사이의 거리를 구해보겠습니다.
- 문제의 조건에서 점과 평면사이의 거리가 $\sqrt{6}$ 이라고 하였으므로
- ·$x -2y + z = d$ 와 (1, 2, 3) 점 사이의 거리를 $\sqrt{6}$ 라고 정의하면 됩니다.
- ·$distance = \frac{1 -4 + 3 -d}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{-d}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$
- 따라서 $d = -6$ 입니다.
문제의 정답 $\vert d \vert = 6$ 입니다.