What is a conditional probability

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슬라이드의 왼쪽 상단과 같이 두 개의 확률 변수 $X, Y$ 가 있을 때, 확률이 표와 같이 구성되어 있다고 가정해 보겠습니다. 앞의 글 marginal probability에서와 같습니다.
이 때, 모든 확률 변수의 값이 고정이 되었을 때, 격자 한칸에 대한 확률을 정의할 수 있습니다. 이 경우 여러 확률 변수가 AND 조건으로 묶이게 되는데 이것을 Joint probability라고 하였습니다.
반면 marginal probability는 확률 변수의 값 중 고정되지 않은 값이 있어서 영역으로 표시되는 구간을 뜻하였습니다.
예를 들어 $P(X = 1) = 0.1 + 0.3 = 0.4$ 처럼 일부 변수만 고정이 되어 위 표 기준으로는 한 개의 열 또는 행의 확률이었습니다.
이번 글에서 다루는 conditional probability는 간단하게 말하면 joint probability / marginal probability 라고 말할 수 있습니다.

위 슬라이드를 보면 $P(X = 1 \vert Y = 1) = \frac{0.3}{0.1 + 0.3}$ 과 $P(X = 0 \vert Y = 1) = \frac{0.1}{0.1 + 0.3}$ 이 설명되어 있습니다.
이 뜻은 $Y = 1$ 일 때, $X = 1$ 또는 $X = 0$ 이라는 뜻을 의미합니다.
여기서 분모의 영역을 모든 영역이 아닌 일부 영역으로 한정지었는데, 이것을 conditional이라고 합니다. 즉 전체 영역인 분모가 달라집니다.
- 이 때, 분모의 영역을 보면 앞에서 본 marginal probability에 해당하는 영역입니다. 한 행의 영역이라고 할 수 있습니다.
분자를 보면 확률 변수 모두가 고정되어 있기 때문에 joint probability가 됩니다.
다시 말하면 conditional probability는 표 전체 영역이었던 확률 공간을 조건을 주어 일부 영역으로 줄여습니다. 여기서는 2개의 확률 변수(2차원)가 있으니 영역이 줄어 1차원인 행 또는 열이된 셈입니다.