벡터와 스칼라의 곱셈
출처 : 칸 아카데미 선형대수학 (https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces)
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(2,1)인 벡터 a가 있습니다. 여기에 한번 그려볼까요? (2,1)을 원점에서 시작한다면 수평 방향으로 2만큼 수직 방향으로 1만큼 움직일 것입니다. 벡터의 스칼라 곱을 어떻게 정의할 수 있을지 한번 생각해봅시다. 예를 들어 벡터 a에 3을 곱한다고 하면 3 x (2,1)과 같습니다. 3은 그저 숫자입니다. 스칼라가 어떤 의미인지 벡터와 비교해보죠. 3은 단지 숫자인 데 비해 벡터는 얼마만큼 어느 방향으로 움직여야 하는지 크기와 방향, 둘 다 알려줍니다. 여기 있는 것은 평범한 숫자입니다. 이 벡터에 3을 곱하는 것을 어떻게 정의할 수 있을까요? 머릿속에 떠오르는 합리적인 생각은 각각의 성분에 3을 곱하는 것일 겁니다. 2와 1이 벡터의 각 성분이니 이들을 3으로 곱할 것입니다. 3×23×2와 3×1이 됩니다. 스칼라를 곱한 벡터는 여전히 2차원 벡터일 겁니다. 2차원 벡터 (6,3)이 됩니다.
벡터 (6,3)은 원점에서 시작하면 수평으로 6만큼 움직입니다.
수직으로는 3만큼 움직입니다.
이 벡터에 무슨 일이 일어났습니까?
이 벡터에서 무엇이 바뀌었고 무엇이 바뀌지 않았는지 살펴보세요.
바뀌지 않은 점은 여전히 같은 방향을 가리키고 있다는 겁니다.
여기 이 벡터는 방향이 바뀌지 않았습니다.
벡터의 스칼라 곱은 적어도 우리가 정의한 바에 의하면 벡터의 방향은 변하지 않았습니다.
최소한 이 경우에서는 방향이 안 변했죠. 하지만 크기는 바뀌었습니다.
이 벡터의 크기는 3배로 늘어났습니다.
3을 곱했기 때문에 당연합니다.
벡터를 3배 확대했다고 생각하시면 됩니다.
스칼라가 확대해줬다고 생각하면 이해가 될 겁니다.
스칼라(scalar)와 확대하다(scale up)의 어원이 같음을 눈치채셨을 겁니다. 스칼라의 곱은 벡터를 확대합니다. 방향 변화 없이 크기는 3배 증가하게 되었습니다.
벡터 a에 음수를 곱해보도록 합시다. 간단하게 -1을 곱해보죠. -1을 a에 곱해보겠습니다.
a에 3을 곱했던 때와 마찬가지로 각각의 성분에 -1을 곱합니다.
2×−1은 -2, 1×−1 은 -1입니다.
-1을 벡터 a에 곱하면 (-2,-1)이 됩니다.
우리가 원점에서 시작한다면 수평으로 -2만큼 수직으로 -1만큼 움직여야 합니다.
-1을 곱했을 때 벡터에 무슨 일이 일어났나요?
방향을 완전히 뒤집어 버렸습니다.
-1을 곱하니 방향이 완전히 뒤집혔습니다.
벡터의 크기는 변하지 않았습니다.
그러나 방향은 완전히 반대가 되었습니다.
음수를 곱했을 때 방향은 바뀌게 됩니다.
수직선을 다뤘을 때도 마찬가지였습니다.
5×−1 을 하면 반대방향으로 가게 됩니다.
0의 왼쪽으로 다섯 칸 즉, -5에 있게 됩니다.
그러므로 음수를 곱하면 방향이 바뀌는 것입니다.
이번에는 -2를 벡터 a에 곱해 봅시다. 이 벡터의 스칼라 곱은 무엇인가요? 그래프에 어떻게 표현할 수 있나요? 이 벡터의 스칼라 곱은 −2×2 는 -4이고 −2×1은 -2 입니다. 우리가 처음 다뤘던 벡터 a는 이렇게 생겼었습니다. (2,1)은 이렇게 생겼습니다. 거기에 -2를 곱하면 이러한 형태의 벡터가 됩니다.
이번에는 의도적으로 원점에서 시작하지 않았습니다. 왜냐하면 원점에서 시작할 필요가 없기 때문입니다. 그렇다면 벡터 a와 -2의 곱은 어떻게 다르나요? 마이너스 부호가 벡터의 방향을 뒤집고 2가 벡터의 크기를 2배로 키웁니다. 벡터의 크기는 2배가 되었고 마이너스 부호로 인해 방향은 반대가 됐습니다.