외적과 값의 사인값 사이의 관계

출처 : 칸 아카데미 선형대수학 (https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces)

이번 글에서는 외적(cross product)와 sin 값의 관계에 대하여 알아보도록 하겠습니다.

결과적으로 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert = \Vert \vec{a} \Vert \ \Vert \vec{b} \Vert sin \theta$ 을 만족합니다.

$Drawing$

식을 유도하기 위해 먼저 위의 슬라이드 처럼 두 벡터를 정의합니다. 외적을 다루기 때문에 $\mathbb R^{3}$ 의 벡터 $\vec{a}, \vec{b}$를 정의 합니다.
- 즉, $\vec{a} = [a_{1}, a_{2}, a_{3} ]^{T}, \vec{b} = [b_{1}, b_{2}, b_{3} ]^{T}$ 입니다.
다음으로 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert^{2}$ 를 각각의 원소를 이용하여 전개 합니다.
- 위 슬라이드에서 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert^{2}$ 의 전개 결과를 볼 수 있습니다.

$Drawing$

다음으로 벡터의 내적과 cosine 간의 관계를 이용해야 합니다.
위 슬라이드 처럼 $(\Vert \vec{a} \Vert \ \Vert \vec{b} \Vert cos\theta)^{2}$ 을 각 원소를 이용하여 전개 합니다.
앞의 슬라이드의 외적을 제곱한 결과와 현재 슬라이드의 내적을 제곱한 결과를 더해보겠습니다.
- 앞의 슬라이드의 외적을 제곱한 결과와 현재 슬라이드의 내적을 제곱한 결과를 비교해 보면 마지막 term이 서로 상쇄 될 수 있음을 보입니다. 즉 마지막 term 합은 0입니다.

$Drawing$

최종적으로 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert^{2} + (\Vert \vec{a} \Vert^{2} \ \Vert \vec{b} \Vert^{2} cos\theta)^{2}$ 을 정리해 보면 다음과 같습니다.
- 좌/우변을 정리하면 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert^{2} = \Vert \vec{a} \Vert^{2} \ \Vert \vec{b} \Vert^{2}(1 - cos^{2}\theta)$ 가 됩니다.
- 그리고 $sin^{2}\theta = 1 - cos^{2}\theta$ 를 이용하면
- 처음에 정의한 식인 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert = \Vert \vec{a} \Vert \ \Vert \vec{b} \Vert sin \theta$ 를 얻을 수 있습니다.

앞에서 전개한 식을 다시 살펴 보면 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert$를 전개하였고 식을 정리한 결과 다음과 같은 외적의 관계식을 구할 수 있었습니다.

[\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert = \Vert \vec{a} \Vert \Vert \vec{b} \Vert \text{sin}\theta]