Companion Matrix

2020, Aug 26    

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• 이번 글에서는 companion matrix에 대하여 간단하게 살펴보도록 하겠습니다.

• companion matrix는 일계수 다항식 (Monic Polynomial)을 행렬 형태로 나타내는 방법으로 볼 수 있습니다.
• 일계수 다항식이란 다음과 같은 형태의 다항식을 의미합니다.

• $$x^{n} + c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_{2}x^{2} + c_{1}x + c_{0}$$

• 일계수 다항식의 형태가 다음과 같다고 가정해 보겠습니다.

• $$p(x) = c_{0} + c_{1}x + \cdots + c_{n-1}x^{n-1} + x^{n}$$

• 이 때 Companion Matrix $C(p)$ 는 다음과 같습니다.

• $$C(p) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_{0} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -c_{1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -c_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{n-1} \end{bmatrix}$$

• 만약 $C(p)$ 행렬을 $p(x)$ 다항식으로 표현하고 싶다면 $C(p)$ 을 특성 방정식 (Characteristic Equation)으로 표현하면 됩니다.

• $$\text{det}(C(p) - \lambda I) = 0$$

• 예시를 통해 특성 방정식이 $p(x)$ 가 됨을 살펴보도록 하겠습니다.

• $$p(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$$
• $$C(p) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$
• $$\text{det}(C(p) - \lambda I) = 0$$

• 위 예시와 같이 $C(p)$ 의 특성 방정식이 $p(x)$ 가 됨을 예시를 통하여 확인하였습니다.
• 기본적으로 특성 방정식은 행렬의 고유값을 구하기 위한 방정식입니다. $C(p)$ 의 특성 방정식이 $p(x)$ 와 같으므로 $C(p)$ 의 특성 방정식을 통해 고유값을 구한다는 것은 $p(x)$ 의 해를 구하는 것과 동일하다는 것을 뜻합니다.
• 따라서 $C(p)$ 의 고유값을 구하는 방법을 통하여 $p(x)$ 의 해를 구할 수 있습니다.

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