기저와 차원

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• 이번 글에서는 기저(basis)와 차원(dimension)에 대하여 알아보도록 하겠습니다.
• 제 블로그의 선형대수학 이전 글들을 살펴보면 생성 또는 Span 이라는 용어로 설명한 내용이 있습니다. Span은 $v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{k}$ 의 $k$ 개의 일차 결합을 모두 모은 것을 Span 이라고 하며 Span은 주어진 벡터 공간 $V$ 의 부분공간이 됩니다.
• 이 때, $v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{k}$ 의 $k$ 중에서 몇개를 제외하더라도 똑같은 부분공간을 만들 수 있는 경우들이 발생합니다. 이 경우는 굳이 $k$ 개 벡터를 다 사용하지 않고 필요한 벡터만 사용하여 동일한 부분공간을 만들 수 있는데 이와 관련된 내용이 아래 정리 10 입니다.

• (정리 10) 벡터 공간 $V$ 의 원소 $v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{k}$ 에 대하여 $v_{j} = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + \cdots + a_{j-1}v_{j-1} + a_{j+1}v_{j+1} + \cdots + a_{k}v_{k}, \quad 1 \le j \le k$ 을 만족하면 $\text{Span}(v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{k}) = \text{Span}(v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{j-1}, v_{k+1}, \cdots , v_{k})$ 이 된다.

• 위 정리 10은 $v_{j}$ 나머지 원소들의 일차 결합으로 만들 수 있는 일차 종속인 벡터이며 이러한 일차 종속인 벡터를 제외하더라고 Span을 만족한다는 뜻입니다. 정리 10에 대한 내용을 증명해 보면 아래와 같습니다.

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