양의 정부호 행렬 (Positive Definite Matrix)

양의 정부호 행렬 (Positive Definite Matrix)

2018, Sep 23    


선형대수학 글 목차


  • 본 글에서 다룰 내용이 길어질 수 있으므로 양의 정부호/준정부호 행렬의 정의와 성질을 먼저 상단부에 정리해 놓도록 하겠습니다.


양의 정부호/준정부호 행렬의 정의


  • Positive Definite Matrix : 대칭행렬 A(A=AT)A(A=AT) 가 모든 nn 차원 벡터 x0x0 에 대하여 xTAx>0xTAx>0 이면, AAPDM 이라고 합니다.
  • Positive Semi-Definite Matrix : PDM의 조건에서 xTAx0xTAx0 이면 AAPSDM이라고 합니다.


양의 정부호/준정부호 행렬의 성질


  • ① 임의의 행렬 AA 에 대하여 ATA,AATATA,AATPSDM입니다.
  • n×nn×n 대칭 행렬 AA 에 대하여, AAPDM필요충분 조건AA 의 모든 eigenvalue가 양수인 경우입니다.
  • n×nn×n 대칭 행렬 AA 에 대하여 다음 네가지 명제는 동치입니다. 즉, 하나를 만족하면 나머지 3개도 모두 만족한다는 뜻입니다.
    • ③-1 : 행렬 AAPDM 입니다.
    • ③-2 : AA 의 모든 eigenvalue가 양의 실수 입니다.
    • ③-3 : A=UTUA=UTU 를 만족하는 regular matrix (역행렬이 존재하는 행렬) UU 가 존재합니다.
    • ③-4 : AA 의 모든 sub-determinant가 양의 실수입니다.
  • n×nn×n 크기의 행렬 A,BA,B 가 각각 PDM이면 다음을 만족합니다.
    • ④-1 : AT,sA+tBAT,sA+tB 모두 PDM을 만족합니다. 단, s,t>0s,t>0
    • ④-2 : A1A1 또한 PDM을 만족합니다.
    • ④-3 : UUregular matrix이면 UTAUUTAU 또한 PDM을 만족합니다.
  • n×nn×n 행렬 AA 에 대하여 다음 네가지 명제는 동치입니다. 즉, 하나를 만족하면 나머지 3개도 모두 만족한다는 뜻입니다.
    • ⑤-1 : 행렬 AAPSDM 입니다.
    • ⑤-2 : AA 의 모든 eigenvalue가 음의 실수가 아닙니다.
    • ⑤-3 : A=UTUA=UTU 를 만족하는 regular matrix (역행렬이 존재하는 행렬) UU 가 존재합니다.
    • ⑤-4 : AA 의 모든 sub-determinant가 음의 실수가 아닙니다.
  • A is skew-symmetric xTAx=0A is skew-symmetric xTAx=0




  • 이번 글에서는 Positivie Definite Matrix (양의 정부호 행렬)Positivie Semi-Definite Matrix (양의 준정부호 행렬)의 정의와 그 성질에 대하여 알아보겠습니다. 용어는 PDMPSDM으로 줄여서 사용하겠습니다.
  • PDMPSDM의 정의는 다음과 같습니다.


  • Positive Definite Matrix : 대칭행렬 A(A=AT)A(A=AT) 가 모든 nn 차원 벡터 x0x0 에 대하여 xTAx>0xTAx>0 이면, AAPDM 이라고 합니다.
  • Positive Semi-Definite Matrix : PDM의 조건에서 xtAx0xtAx0 이면 AAPSDM이라고 합니다.


  • 두가지 정의를 살펴보면 임의의 벡터 xx 를 대칭행렬 AA 를 이용하여 선형변환 하고 (xTAxTA) 다시 xx 를 곱한 뒤 결과의 부호를 살펴보는 과정입니다. 이 과정의 의미는 글의 내용을 살펴보면서 차근 차근 설명해 보도록 하겠습니다.
  • 지금부터 PDMPSDM의 성질 등을 하나씩 살펴보도록 하겠습니다.


  • ① 임의의 행렬 (앞에서 가정한 대칭행렬과 상관 없음) AA 에 대하여 ATA,AATATA,AATPSDM입니다.
  • ① 내용의 증명은 다음과 같습니다.


  • xTATAx=(Ax)T(Ax)=bTb0xTATAx=(Ax)T(Ax)=bTb0
  • xTAATx=(ATx)T(ATx)=cTc0xTAATx=(ATx)T(ATx)=cTc0


  • 위 2가지 내용을 모두 살펴보면 연산 결과 같은 벡터 (b,cb,c)의 내적이 되고 같은 벡터의 내적은 0 이상의 값을 가지므로 ① 내용을 만족할 수 있습니다.


  • n×nn×n 대칭 행렬 AA 에 대하여, AAPDM필요충분 조건AA 의 모든 eigenvalue가 양수인 경우입니다.
  • ② 내용의 증명은 다음과 같습니다. 먼저 충분 조건 (→) 부터 살펴보도록 하겠습니다.


  • (→) 행렬 AAPDM이고 Av=λvAv=λv 라고 가정하겠습니다. 이 때, 다음 식을 만족합니다.


  • vtAv=λvtv>0vtAv=λvtv>0


  • 이 때, vv 는 0이 아니고 (PDM을 만족해야 함) 같은 벡터를 이용한 내적의 결과는 항상 0 이상의 양수이므로 vtv>0vtv>0 을 만족합니다. 따라서 λ>0λ>0 을 만족해야 합니다.


  • (←) eigenvalue, eigenvector를 이용한 식 Av1=λ1v1Av1=λ1v1, ~ , Avn=λnvnAvn=λnvn 에서 λi>0, i=1,...,nλi>0, i=1,...,n 이고 v1,v2,...,vnorthonormal basis라고 가정하겠습니다. 이와 같이 가정하면 임의의 벡터 vorthonormal basiseigenvectoreigenvalue를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다.


  • v=λ1v1+λ2v2++λnvn
  • Av=A(λ1v1++λnvn)


  • vTAv=(λ1v1++λnvn)TA(λ1v1++λnvn)=(λ1v1++λnvn)T(λ1Av1+λnAvn)=(λ1v1++λnvn)T(λ1λ1v1+λnλnvn)=(λ1v1++λnvn)T(λ21v1++λ2nvn)=(λ31+λ32++λ3n)>0 (vTivj=1, if i=j and vTivj=0, if ij)


  • 따라서 위 식의 전개와 같이 vTAv>0 임을 확인할 수 있었습니다.
  • 최종적으로 대칭행렬 A 에 대하여 APDM인 것과 모든 eigenvalue가 0보다 크다는 것은 필요충분조건임을 확인할 수 있었습니다.


  • n×n 대칭 행렬 A 에 대하여 다음 네가지 명제는 동치입니다. 즉, 하나를 만족하면 나머지 3개도 모두 만족한다는 뜻입니다.
    • ③-1 : 행렬 APDM 입니다.
    • ③-2 : A 의 모든 eigenvalue가 양의 실수 입니다.
    • ③-3 : A=UTU 를 만족하는 regular matrix (역행렬이 존재하는 행렬) U 가 존재합니다.
    • ③-4 : A 의 모든 sub-determinant가 양의 실수입니다.


  • 먼저 앞에서 ③-1과 ③-2는 필요 충분조건인 것을 확인하였습니다. ③-2 → ③-3 인 것을 먼저 확인하고 ③-3 → ③-1 인 것을 확인하여 ③-3 또한 동치임을 보이도록 하겠습니다.


  • 대칭 행렬은 orthogonal matrix Qdiagonal matrix D 로 다음과 같이 표현가능합니다. 아래 내용을 참조해 주시기 바랍니다.


  • A=QTDQ(Q : Orthogonal Matrix, D : Diagonal Matrix)
  • D=[λ1000λ2000λn]


  • 위 식과 같이 diagonal matrix D 의 대각성분이 eigenvalue이므로 모두 양수입니다. (③-2의 조건) 따라서 diagonal matrix D 의 대각 성분이 모두 양수이므로 D=C2 으로 표현할 수 있습니다. 추가적으로 식을 전개해 보면 다음과 같습니다.


  • A=QTDQ=QTCCQ=QTCTCQ(C=CT)=(CQ)T(CQ)=UTU(CQ=U)
  •  A=UTU


  • 따라서 ③-2 → ③-3 인 것을 확인하였습니다. 이번에는 ③-3 → ③-1 임을 확인해 보겠습니다.


  • xTAx=xTUTUx=(Ux)TUx>0
  • U : regular matrix, x0Ux0


  • 마지막으로 ③-4의 내용을 살펴보도록 하겠습니다.


  • 먼저 3×3 크기의 행렬 케이스를 살펴보도록 하겠습니다.


  • 대칭 행렬 A=[a11bcba22dcda33]PDM이라고 가정하겠습니다. 그러면 ③-2에 의하여 A 의 모든 λ1,λ2,λ3 이 양의 실수가 됩니다. 이 때, orthogonal matrix U 가 존재하여 다음을 만족합니다.


  • A=UT[λ1   λ2   λ3]U
  • det(A)=det(UT)det([λ1   λ2   λ3])det(U)=λ1λ2λ3>0
  • det(UT)det(U)=1(U and UT are inversly related.)


  • 즉, APDM이면 det(A)>0 를 만족함을 알 수 있습니다.


  • 행렬 Aprincipal submatrices는 다음과 같습니다.


  • [a11],[a22],[a33]
  • [a11bba22]
  • [a22dda33]


  • 행렬 APDM이라는 가정으로 인하여 위에서 나열한 모든 principal submatricesPDM을 만족합니다. 그 이유는 다음 예시를 통해 확인할 수 있습니다.


  • [x00][a11bcba22dcda33][x00]>0(Assumed A is P.D.M)
  • x(a11)x>0satisfied P.D.M


  • 위 식과 같이 x[x00] 와 같이 정의하면 (또는 유사하게 정의하면) [aii] 와 같은 형태의 principal submatrices를 만들 수 있습니다.
  • 유사한 방식으로 2개의 행과 열을 선택하는 방식은 다음과 같이 만들 수 있습니다.


  • [xy0][a11bcba22dcda33][xy0]>0
  • [xy][a11bba22][xy]>0satisfied P.D.M


  • 이와 같은 방식으로 2x2 크기의 principal submatrices를 만들 수 있습니다.


  • 여기서 확인해야 할 점은 모든 principal submatricesdeterminant가 양수인 지 확인하는 것입니다.
  • ③-1과 ③-2에 따라 PDM을 만족하는 행렬의 eigenvalue는 모두 양의 실수이므로 principal submatriceseigenvalue 또한 양의 실수가 됩니다.


  • A=UT[λ1   λ2   λ3]U
  • det(A)=det(UT)det([λ1   λ2   λ3])det(U)=λ1λ2λ3>0


  • 앞에서 살펴본 위 식에서 전개한 바와 동일하게 principal submatrices에 동일하게 적용하면 eigenvalue가 모두 양의 실수 이기 때문에 principal submatricesdeterminantsub-determinant가 모두 양수인 것을 확인할 수 있습니다.


  • 만약 sub-determinant가 모두 양수이면 행렬 A 를 구성하는 모든 eigenvalue가 양의 실수임을 만족합니다. 앞의 예제를 살펴보면 확인 가능합니다.
  • 즉, sub-determinant가 모두 양수이면 eigenvalue가 양의 실수이고 따라서 행렬 APDM이 됩니다.


  • 지금까지 살펴본 내용으로 PDM이면 eigenvalue가 양의 실수임을 계속 확인하였습니다.
  • eigenvectorbasis의 역할을 하는 반면 eigenvalueeigenvector의 스케일 및 방향을 결정하는 역할을 합니다.
  • PDM에서는 eigenvalue가 모두 양수이기 때문에 eigenvector의 크기만 바뀔 뿐 방향이 바뀌지 않습니다. PDM인 행렬 A 의 기하학적인 의미는 이와 같이 basis의 방향을 바꾸지 않는 행렬로 이해하면 좀 더 쉽게 이해하실 수 있습니다.


  • 다음으로 PDM의 추가적인 성질에 대하여 알아보도록 하겠습니다.


  • n×n 크기의 행렬 A,B 가 각각 PDM이면 다음을 만족합니다.
    • ④-1 : AT,sA+tB 모두 PDM을 만족합니다. 단, s,t>0
    • ④-2 : A1 또한 PDM을 만족합니다.
    • ④-3 : Uregular matrix이면 UTAU 또한 PDM을 만족합니다.


  • 먼저 ④-1 부터 살펴보도록 하겠습니다. xTATx(xTATx)T 모두 실수 스칼라 값만을 가지므로 다음과 같이 식을 적용할 수 있습니다.


  • xTATx=(xTATx)T
  • xTATx=(xTATx)T=xTAx>0


  • 따라서 APDM이면 AT 또한 PDM을 만족합니다.


  • xT(sA+tB)x=xT(sAx+tBx)=sxTAx+txTBx>0


  • 따라서 A,BPDM이면 sA+tB (s,t>0) 또한 PDM임을 만족합니다.


  • 다음으로 먼저 ④-2 내용을 살펴보도록 하겠습니다. 이 내용을 증명하기 위해서는 xTA1x>0 임을 보이면 됩니다.


  • Assume A1x=y
  • x=Ay
  • xT=yTAT
  •  xTA1x=xTy=yTATy>0


  • 마지막으로 ④-3 내용을 살펴보도록 하겠습니다. 매우 간단합니다.


  • xTUTAUx=(Ux)TA(Ux)>0


  • 지금까지 내용은 PDM에 대하여 다루었습니다. PSDM의 경우 xTAx0 을 만족하면 되고 PDM과 비교하였을 때, 0을 포함한다는 차이점이 있습니다. 따라서 다음과 같은 표현의 차이가 있으며 증명 과정은 동일합니다.


  • n×n 행렬 A 에 대하여 다음 네가지 명제는 동치입니다. 즉, 하나를 만족하면 나머지 3개도 모두 만족한다는 뜻입니다.
    • ⑤-1 : 행렬 APSDM 입니다.
    • ⑤-2 : A 의 모든 eigenvalue가 음의 실수가 아닙니다.
    • ⑤-3 : A=UTU 를 만족하는 regular matrix (역행렬이 존재하는 행렬) U 가 존재합니다.
    • ⑤-4 : A 의 모든 sub-determinant가 음의 실수가 아닙니다.




  • 아래는 추가적으로 PDM, PSDM과 관련된 내용을 추가하였습니다.



  • A=AT
  • A=[0aba0cbc0]


  • skew-symmetric matrixPSDM과 관련이 있으며 다음 명제를 만족합니다. 아래 명제는 수식 전개 시 많이 사용됩니다.


  • A is skew-symmetric xTAx=0


  • 먼저 부터 증명해 보도록 하겠습니다.


  • xTAx=(xTAx)T(xTAx = scalar)=xtATx=xTAx(A=AT)
  •  xTAx=xTAx
  • 2xTAx=0
  •  xTAx=0


  • 다음으로 를 증명해 보도록 하겠습니다.


  • xTAx=0x
  • ijxjaijxi=0x
  • x21a11+x1a1a12x2+=0


  • 위 식을 항상 만족하기 위해서는 xixjxjxi 가 소거가 되어야 합니다. 따라서 aij=aji 가 되어야 소거가 됩니다.
  • 남은 항은 x2iaii+ 가 됩니다. 이 항은 aii=0 을 만족해야 모두 소거 될 수 있습니다.
  • 따라서 다음 두 조건인 aij=ajiaii=0 조건을 모두 만족해야 전제 조건인 xTAx=0 을 만족할 수 있음을 확인하였습니다. 그리고 aij=ajiaii=0 조건은 바로 skew-symmetric matrix의 정의입니다.


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