
양의 정부호 행렬 (Positive Definite Matrix)
2018, Sep 23
- 본 글에서 다룰 내용이 길어질 수 있으므로 양의 정부호/준정부호 행렬의 정의와 성질을 먼저 상단부에 정리해 놓도록 하겠습니다.
양의 정부호/준정부호 행렬의 정의
Positive Definite Matrix
: 대칭행렬 A(A=AT)A(A=AT) 가 모든 nn 차원 벡터 x≠0x≠0 에 대하여 xTAx>0xTAx>0 이면, AA 를PDM
이라고 합니다.Positive Semi-Definite Matrix
:PDM
의 조건에서 xTAx≥0xTAx≥0 이면 AA 를PSDM
이라고 합니다.
양의 정부호/준정부호 행렬의 성질
- ① 임의의 행렬 AA 에 대하여 ATA,AATATA,AAT 는
PSDM
입니다. - ② n×nn×n
대칭 행렬
AA 에 대하여, AA 가PDM
일 필요충분 조건은 AA 의 모든eigenvalue
가 양수인 경우입니다. - ③ n×nn×n
대칭 행렬
AA 에 대하여 다음 네가지 명제는 동치입니다. 즉, 하나를 만족하면 나머지 3개도 모두 만족한다는 뜻입니다.- ③-1 : 행렬 AA 가
PDM
입니다. - ③-2 : AA 의 모든
eigenvalue
가 양의 실수 입니다. - ③-3 : A=UTUA=UTU 를 만족하는
regular matrix
(역행렬이 존재하는 행렬) UU 가 존재합니다. - ③-4 : AA 의 모든
sub-determinant
가 양의 실수입니다.
- ③-1 : 행렬 AA 가
- ④ n×nn×n 크기의 행렬 A,BA,B 가 각각
PDM
이면 다음을 만족합니다.- ④-1 : AT,sA+tBAT,sA+tB 모두
PDM
을 만족합니다. 단, s,t>0s,t>0 - ④-2 : A−1A−1 또한
PDM
을 만족합니다. - ④-3 : UU 가
regular matrix
이면 UTAUUTAU 또한PDM
을 만족합니다.
- ④-1 : AT,sA+tBAT,sA+tB 모두
- ⑤ n×nn×n 행렬 AA 에 대하여 다음 네가지 명제는 동치입니다. 즉, 하나를 만족하면 나머지 3개도 모두 만족한다는 뜻입니다.
- ⑤-1 : 행렬 AA 가
PSDM
입니다. - ⑤-2 : AA 의 모든
eigenvalue
가 음의 실수가 아닙니다. - ⑤-3 : A=UTUA=UTU 를 만족하는
regular matrix
(역행렬이 존재하는 행렬) UU 가 존재합니다. - ⑤-4 : AA 의 모든
sub-determinant
가 음의 실수가 아닙니다.
- ⑤-1 : 행렬 AA 가
- A is skew-symmetric ↔xTAx=0A is skew-symmetric ↔xTAx=0
- 이번 글에서는
Positivie Definite Matrix (양의 정부호 행렬)
와Positivie Semi-Definite Matrix (양의 준정부호 행렬)
의 정의와 그 성질에 대하여 알아보겠습니다. 용어는PDM
과PSDM
으로 줄여서 사용하겠습니다. PDM
과PSDM
의 정의는 다음과 같습니다.
Positive Definite Matrix
: 대칭행렬 A(A=AT)A(A=AT) 가 모든 nn 차원 벡터 x≠0x≠0 에 대하여 xTAx>0xTAx>0 이면, AA 를PDM
이라고 합니다.Positive Semi-Definite Matrix
:PDM
의 조건에서 xtAx≥0xtAx≥0 이면 AA 를PSDM
이라고 합니다.
- 두가지 정의를 살펴보면 임의의 벡터 xx 를 대칭행렬 AA 를 이용하여 선형변환 하고 (xTAxTA) 다시 xx 를 곱한 뒤 결과의
부호
를 살펴보는 과정입니다. 이 과정의 의미는 글의 내용을 살펴보면서 차근 차근 설명해 보도록 하겠습니다. - 지금부터
PDM
과PSDM
의 성질 등을 하나씩 살펴보도록 하겠습니다.
- ① 임의의 행렬 (앞에서 가정한 대칭행렬과 상관 없음) AA 에 대하여 ATA,AATATA,AAT 는
PSDM
입니다. - ① 내용의 증명은 다음과 같습니다.
- xTATAx=(Ax)T(Ax)=bTb≥0xTATAx=(Ax)T(Ax)=bTb≥0
- xTAATx=(ATx)T(ATx)=cTc≥0xTAATx=(ATx)T(ATx)=cTc≥0
- 위 2가지 내용을 모두 살펴보면 연산 결과 같은 벡터 (b,cb,c)의 내적이 되고 같은 벡터의 내적은 0 이상의 값을 가지므로 ① 내용을 만족할 수 있습니다.
- ② n×nn×n 대칭 행렬 AA 에 대하여, AA 가
PDM
일 필요충분 조건은 AA 의 모든eigenvalue
가 양수인 경우입니다. - ② 내용의 증명은 다음과 같습니다. 먼저 충분 조건 (→) 부터 살펴보도록 하겠습니다.
- (→) 행렬 AA 가
PDM
이고 Av=λvAv=λv 라고 가정하겠습니다. 이 때, 다음 식을 만족합니다.
- vtAv=λvtv>0vtAv=λvtv>0
- 이 때, vv 는 0이 아니고 (
PDM
을 만족해야 함) 같은 벡터를 이용한 내적의 결과는 항상 0 이상의 양수이므로 vtv>0vtv>0 을 만족합니다. 따라서 λ>0λ>0 을 만족해야 합니다.
- (←) eigenvalue,
eigenvector
를 이용한 식 Av1=λ1v1Av1=λ1v1, ~ , Avn=λnvnAvn=λnvn 에서 λi>0, i=1,...,nλi>0, i=1,...,n 이고 v1,v2,...,vn 이orthonormal basis
라고 가정하겠습니다. 이와 같이 가정하면 임의의 벡터 v 는orthonormal basis
인eigenvector
와eigenvalue
를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
- v=λ1v1+λ2v2+⋯+λnvn
- Av=A(λ1v1+⋯+λnvn)
- vTAv=(λ1v1+⋯+λnvn)TA(λ1v1+⋯+λnvn)=(λ1v1+⋯+λnvn)T(λ1Av1+⋯λnAvn)=(λ1v1+⋯+λnvn)T(λ1λ1v1+⋯λnλnvn)=(λ1v1+⋯+λnvn)T(λ21v1+⋯+λ2nvn)=(λ31+λ32+⋯+λ3n)>0 (∵vTivj=1, if i=j and vTivj=0, if i≠j)
- 따라서 위 식의 전개와 같이 vTAv>0 임을 확인할 수 있었습니다.
- 최종적으로 대칭행렬 A 에 대하여 A 가
PDM
인 것과 모든eigenvalue
가 0보다 크다는 것은 필요충분조건임을 확인할 수 있었습니다.
- ③ n×n
대칭 행렬
A 에 대하여 다음 네가지 명제는 동치입니다. 즉, 하나를 만족하면 나머지 3개도 모두 만족한다는 뜻입니다.- ③-1 : 행렬 A 가
PDM
입니다. - ③-2 : A 의 모든
eigenvalue
가 양의 실수 입니다. - ③-3 : A=UTU 를 만족하는
regular matrix
(역행렬이 존재하는 행렬) U 가 존재합니다. - ③-4 : A 의 모든
sub-determinant
가 양의 실수입니다.
- ③-1 : 행렬 A 가
- 먼저 앞에서 ③-1과 ③-2는 필요 충분조건인 것을 확인하였습니다. ③-2 → ③-3 인 것을 먼저 확인하고 ③-3 → ③-1 인 것을 확인하여 ③-3 또한 동치임을 보이도록 하겠습니다.
- 대칭 행렬은
orthogonal matrix
Q 와diagonal matrix
D 로 다음과 같이 표현가능합니다. 아래 내용을 참조해 주시기 바랍니다.
- A=QTDQ(Q : Orthogonal Matrix, D : Diagonal Matrix)
- D=[λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λn]
- 위 식과 같이
diagonal matrix
D 의 대각성분이eigenvalue
이므로 모두 양수입니다. (③-2의 조건) 따라서diagonal matrix
D 의 대각 성분이 모두 양수이므로 D=C2 으로 표현할 수 있습니다. 추가적으로 식을 전개해 보면 다음과 같습니다.
- A=QTDQ=QTCCQ=QTCTCQ(∵C=CT)=(CQ)T(CQ)=UTU(CQ=U)
- ∴ A=UTU
- 따라서 ③-2 → ③-3 인 것을 확인하였습니다. 이번에는 ③-3 → ③-1 임을 확인해 보겠습니다.
- xTAx=xTUTUx=(Ux)TUx>0
- U : regular matrix, ∴x≠0→Ux≠0
- 마지막으로 ③-4의 내용을 살펴보도록 하겠습니다.
- 먼저 3×3 크기의 행렬 케이스를 살펴보도록 하겠습니다.
- 대칭 행렬 A=[a11bcba22dcda33] 가
PDM
이라고 가정하겠습니다. 그러면 ③-2에 의하여 A 의 모든 λ1,λ2,λ3 이 양의 실수가 됩니다. 이 때,orthogonal matrix
U 가 존재하여 다음을 만족합니다.
- A=UT[λ1 λ2 λ3]U
- det(A)=det(UT)det([λ1 λ2 λ3])det(U)=λ1λ2λ3>0
- det(UT)det(U)=1(∵U and UT are inversly related.)
- 즉, A 가
PDM
이면 det(A)>0 를 만족함을 알 수 있습니다.
- 행렬 A 의
principal submatrices
는 다음과 같습니다.
- [a11],[a22],[a33]
- [a11bba22]
- [a22dda33]
- 행렬 A 가
PDM
이라는 가정으로 인하여 위에서 나열한 모든principal submatrices
는PDM
을 만족합니다. 그 이유는 다음 예시를 통해 확인할 수 있습니다.
- [x00][a11bcba22dcda33][x00]>0(Assumed A is P.D.M)
- x(a11)x>0satisfied P.D.M
- 위 식과 같이 x 를 [x00] 와 같이 정의하면 (또는 유사하게 정의하면) [aii] 와 같은 형태의
principal submatrices
를 만들 수 있습니다. - 유사한 방식으로 2개의 행과 열을 선택하는 방식은 다음과 같이 만들 수 있습니다.
- [xy0][a11bcba22dcda33][xy0]>0
- [xy][a11bba22][xy]>0satisfied P.D.M
- 이와 같은 방식으로 2x2 크기의
principal submatrices
를 만들 수 있습니다.
- 여기서 확인해야 할 점은 모든
principal submatrices
의determinant
가 양수인 지 확인하는 것입니다. - ③-1과 ③-2에 따라
PDM
을 만족하는 행렬의eigenvalue
는 모두 양의 실수이므로principal submatrices
의eigenvalue
또한 양의 실수가 됩니다.
- A=UT[λ1 λ2 λ3]U
- det(A)=det(UT)det([λ1 λ2 λ3])det(U)=λ1λ2λ3>0
- 앞에서 살펴본 위 식에서 전개한 바와 동일하게
principal submatrices
에 동일하게 적용하면eigenvalue
가 모두 양의 실수 이기 때문에principal submatrices
의determinant
인sub-determinant
가 모두 양수인 것을 확인할 수 있습니다.
- 만약
sub-determinant
가 모두 양수이면 행렬 A 를 구성하는 모든eigenvalue
가 양의 실수임을 만족합니다. 앞의 예제를 살펴보면 확인 가능합니다. - 즉,
sub-determinant
가 모두 양수이면eigenvalue
가 양의 실수이고 따라서 행렬 A 가PDM
이 됩니다.
- 지금까지 살펴본 내용으로
PDM
이면eigenvalue
가 양의 실수임을 계속 확인하였습니다. eigenvector
는basis
의 역할을 하는 반면eigenvalue
는eigenvector
의 스케일 및 방향을 결정하는 역할을 합니다.PDM
에서는eigenvalue
가 모두 양수이기 때문에eigenvector
의 크기만 바뀔 뿐 방향이 바뀌지 않습니다.PDM
인 행렬 A 의 기하학적인 의미는 이와 같이basis
의 방향을 바꾸지 않는 행렬로 이해하면 좀 더 쉽게 이해하실 수 있습니다.
- 다음으로
PDM
의 추가적인 성질에 대하여 알아보도록 하겠습니다.
- ④ n×n 크기의 행렬 A,B 가 각각
PDM
이면 다음을 만족합니다.- ④-1 : AT,sA+tB 모두
PDM
을 만족합니다. 단, s,t>0 - ④-2 : A−1 또한
PDM
을 만족합니다. - ④-3 : U 가
regular matrix
이면 UTAU 또한PDM
을 만족합니다.
- ④-1 : AT,sA+tB 모두
- 먼저 ④-1 부터 살펴보도록 하겠습니다. xTATx 와 (xTATx)T 모두 실수 스칼라 값만을 가지므로 다음과 같이 식을 적용할 수 있습니다.
- xTATx=(xTATx)T
- ∴xTATx=(xTATx)T=xTAx>0
- 따라서 A 가
PDM
이면 AT 또한PDM
을 만족합니다.
- xT(sA+tB)x=xT(sAx+tBx)=sxTAx+txTBx>0
- 따라서 A,B 가
PDM
이면 sA+tB (s,t>0) 또한PDM
임을 만족합니다.
- 다음으로 먼저 ④-2 내용을 살펴보도록 하겠습니다. 이 내용을 증명하기 위해서는 xTA−1x>0 임을 보이면 됩니다.
- Assume A−1x=y
- ⇒x=Ay
- ⇒xT=yTAT
- ∴ xTA−1x=xTy=yTATy>0
- 마지막으로 ④-3 내용을 살펴보도록 하겠습니다. 매우 간단합니다.
- xTUTAUx=(Ux)TA(Ux)>0
- 지금까지 내용은
PDM
에 대하여 다루었습니다.PSDM
의 경우 xTAx≥0 을 만족하면 되고PDM
과 비교하였을 때, 0을 포함한다는 차이점이 있습니다. 따라서 다음과 같은 표현의 차이가 있으며 증명 과정은 동일합니다.
- ⑤ n×n 행렬 A 에 대하여 다음 네가지 명제는 동치입니다. 즉, 하나를 만족하면 나머지 3개도 모두 만족한다는 뜻입니다.
- ⑤-1 : 행렬 A 가
PSDM
입니다. - ⑤-2 : A 의 모든
eigenvalue
가 음의 실수가 아닙니다. - ⑤-3 : A=UTU 를 만족하는
regular matrix
(역행렬이 존재하는 행렬) U 가 존재합니다. - ⑤-4 : A 의 모든
sub-determinant
가 음의 실수가 아닙니다.
- ⑤-1 : 행렬 A 가
- 아래는 추가적으로
PDM
,PSDM
과 관련된 내용을 추가하였습니다.
- skew-symmetric matrix은 다음과 같은 행렬을 의미합니다.
- A=−AT
- A=[0−a−ba0−cbc0]
skew-symmetric matrix
는PSDM
과 관련이 있으며 다음 명제를 만족합니다. 아래 명제는 수식 전개 시 많이 사용됩니다.
- A is skew-symmetric ↔xTAx=0
- 먼저 → 부터 증명해 보도록 하겠습니다.
- xTAx=(xTAx)T(∵xTAx = scalar)=xtATx=−xTAx(∵A=−AT)
- ∴ xTAx=−xTAx
- ⇒2xTAx=0
- ∴ xTAx=0
- 다음으로 ← 를 증명해 보도록 하겠습니다.
- xTAx=0∀x
- ⇒∑i∑jxjaijxi=0∀x
- ⇒x21a11+x1a1a12x2+⋯=0
- 위 식을 항상 만족하기 위해서는 xixj 와 xjxi 가 소거가 되어야 합니다. 따라서 aij=−aji 가 되어야 소거가 됩니다.
- 남은 항은 x2iaii+⋯ 가 됩니다. 이 항은 aii=0 을 만족해야 모두 소거 될 수 있습니다.
- 따라서 다음 두 조건인 aij=−aji 와 aii=0 조건을 모두 만족해야 전제 조건인 xTAx=0 을 만족할 수 있음을 확인하였습니다. 그리고 aij=−aji 와 aii=0 조건은 바로
skew-symmetric matrix
의 정의입니다.