벡터의 정사영 (projection)

벡터의 정사영 (projection)

2020, Aug 26    


선형대수학 글 목차


  • 이번 글에서는 벡터의 정사영을 구하는 2가지 관점에 대하여 간략하게 정리하겠습니다.


  • scalar projection → vector projection


  • 먼저 scalar projection에서 vector projection으로 확장하는 관점에서 vector projection에 대하여 알아보겠습니다.
  • scalar projection은 한 벡터에서 다른 벡터로 projection을 하였을 때 projection된 벡터의 시작점에서 projection된 지점까지의 거리(크기)를 나타냅니다.
  • 반면 vector projection은 projection된 벡터의 시작점에서 projection된 지점까지의 거리만큼의 크기를 가지는 벡터를 나타냅니다.
  • 그러면 두 벡터 \(r, s\)가 있고 벡터 \(s\)를 벡터 \(r\)에 projection 시킨다는 가정하에 scalar projectionvector projection을 구하는 방법에 대하여 알아보겠습니다.


  • 먼저 scalar projection 방법에 대하여 알아보도록 하겠습니다.


Drawing


  • \[\cos{\theta} = \frac{\text{adj}}{\color{blue}{\text{hyp}}} = \frac{\text{adj}}{\color{blue}{\vert s \vert}}\]
  • \[\text{adj} = \vert s \vert \cos{\theta}\]


  • 위 식을 두 벡터의 내적의 성질에 접목시켜 보겠습니다. 두 벡터의 내적음 다음을 따릅니다.


  • \[r \cdot s = \vert r \vert \vert s \vert \cos{\theta}\]


  • 따라서 앞의 식을 접목시키면 다음과 같습니다.


  • \[\text{adj} = \vert s \vert \cos{\theta} = \frac{r \cdot s}{\vert r \vert} = \hat{r} \cdot s\]


  • 지금 까지가 scalar projection에 관한 내용이었습니다. 즉, 위 그림과 같이 두 벡터 \(r, s\)를 이용하여 파란색의 길이를 알 수 있습니다.
  • 그럼 여기서 vector projection으로 개념을 확장시켜 보겠습니다. 아시다 시피 벡터는 크기와 방향을 가집니다. 따라서 scalar projection에 방향을 추가하면 됩니다.


Drawing


  • \[\text{vector projection} = \text{scalar projection} \times \text{unit vector} = \frac{r \cdot s}{\vert r \vert} \cdot \frac{r}{\vert r \vert} = \frac{r \cdot s}{r \cdot r} \cdot r\]


  • 위 식은 scalar projection에서 구한 길이값에 방향인 유닛 벡터를 곱하여 vector projection을 하는 식입니다.
  • 위 계산 과정을 보면 scalar projection은 projection 된 벡터의 유닛 벡터(\(\hat{r}\) )와 projection한 벡터(\(s\))의 내적이 됨을 알 수 있습니다.
  • vector projection은 벡터이기 때문에 개념적으로 스칼라 값에 유닛 벡터를 곱하면 됩니다. 따라서 위 식과 같이 유도될 수 있습니다.


  • vector projection 바로 구하기


  • 이번에는 vector projection을 바로 구해보도록 하겠습니다.


Drawing


  • 위 그림에서는 \(\vec{b}\)를 \(\vec{a}\)에 projection 시킵니다. 이것은 \(\vec{b}\)로부터 \(\vec{a}\)에 수직인점 까지의 길이를 가지며 \(\vec{a}\)와 같은 방향을 갖는 벡터를 찾는것을 의미합니다.
  • 그리고 \(\vec{a}\)에서 projection 한 점 까지의 벡터를 \(\vec{x}\)로 나타내고 변수 \(p\)를 도입하여 \(\vec{x} = p \vec{a}\)로 정의하겠습니다.
  • 먼저 projection한 벡터와 \(\vec{a}\)의 내적은 0입니다. 왜냐하면 사이각이 직각이기 때문에 앞에서 다룬 내적의 성질에 의해 0이 되게 됩니다.


  • \[(\vec{b} - p\vec{a})^{T} \vec{a} = 0\]


  • 위 관계식을 이용하여 \(p\)를 정의해 보겠습니다.


  • \[\vec{b}^{T} \vec{a} - p\vec{a}^{T}\vec{a} = 0\]
  • \[p = \frac{\vec{b}^{T}\vec{a}}{\vec{a}^{T}\vec{a}}\]
  • \[\vec{x} = p \vec{a} = \frac{\vec{b}^{T}\vec{a}}{\vec{a}^{T}\vec{a}} \vec{a}\]


  • 이번 방법에서도 앞에서 정리한 방법과 동일한 결과의 vector projection을 구할 수 있었습니다.
  • 특히 두 unit vector의 내적은 1이기 때문에 \(\vec{a}\)가 unit vector라면 다음과 같습니다.


  • \[\vec{x} = p\vec{a} = (\vec{b}^{T}\vec{a})\vec{a}\]


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