행렬의 랭크 (rank)
2021, Aug 26
- 이번 글에서는 선형 대수학에서 중요한 개념 중 하나인
rank또는행렬의 계수로 불리는 개념에 대하여 살펴보도록 하겠습니다.
rank는 행렬이 가지는independent한column의 수를 의미하며 이는column space의dimension에 해당합니다.- 예를 들어
independent한column2개로span하면 2D가 되고 3개로span하면 3D가 됩니다. 따라서independent한column이 \(N\) 개 이면 \(N\)dimension이 되도록span할 수 있습니다. - 따라서
rank의 수가column space의dimension이 됩니다.
- 또한
rank의 개념을 이해하면independent한column의 수 =independent한row의 수 임을 알 수 있습니다.
- \[\text{rank}(A) = \text{rank}(A^{T})\]
- 행렬 \(A\) 를
transpose를 하더라도independent한column의 수는 바뀌지 않습니다. 따라서rank는column space의dimension임과 동시에row space의dimension이 됩니다.
- 아래 예제를 살펴보도록 하겠습니다.
- \[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]
- 행렬 \(A\) 의
independent한column의 갯수는 1개 입니다. 따라서 \(\text{rank}(A) = 1\) 이 됩니다.
- \[B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\]
- 행렬 \(B\) 의 첫번째 두번째
column으로 세번쨰column을 만들 수 있기 때문에 독립적인column은 2개이며 \(\text{rank}(B) = 2\) 가 됩니다. - 따라서
row space또는 2차원이 되는데,row벡터의 element의 수는 3개 입니다. 이런 경우는 3차원row space안에서 2차원 만큼만span할 수 있다는 것을 의미합니다.
- 행렬 \(B\) 와 같은 직사각형 행렬에서는 행/열 중 차원을 가지는 차원 만큼 최대
rank를 가질 수 있습니다. 행렬 \(B\) 는 2 X 3 행렬이므로 최대rank는 2가 될 수 있습니다. - 행렬 \(B\) 의 최대
rank는 2이고 실제rank또한 2인 경우full row rank라고 말합니다.
- 행렬 \(A\) 와 같은 경우 최대
rank는 2이지만 실제rank는 1이었습니다. 이런 경우rank-deficient라고 말합니다.
- 앞의 내용을 응용하여 만약 어떤 행렬의 크기가 3 X 2 이고
rank가 2인 경우full column rank라고 말할 수 있습니다.
- 정사각 행렬의 경우를 예시로 살펴 보겠습니다. 정사각 행렬의 크기가 3 X 3 이고
rank가 3인 경우full rank말합니다. 반면 정사각 행렬의 크기가 3 X 3 이고rank가 2인 경우rank-deficient라고 말하며 이는 직사각 행렬의 경우와 같습니다.