Similar Matrix (닮은 행렬) - gaussian37

Similar Matrix (닮은 행렬)

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이번 글에서는 닮은 행렬에 대하여 간단하게 살펴보도록 하겠습니다. 닮은 행렬 끼리는 rank, trace, determinant, eigenvalue 등이 보존되기 때문에 이와 같은 성질을 이용하고자 할 때, 자주 사용됩니다.

닮은 행렬의 정의

먼저 닮은 행렬이란 다음과 같은 관계를 가질 때, \(A\) 와 \(B\) 의 관계를 의미합니다.
아래 식에서 \(A, B, P\) 모두 \(K \times K\) 의 크기를 가지는 정사각행렬을 의미합니다.

\[B = P^{-1} A P \tag{1}\]

즉, 행렬 \(A\) 를 기준으로 좌우에 임의의 \(K \times K\) 크기의 정사각행렬 \(P^{-1}, P\) 를 곱한 것을 \(B\) 라고 하고 두 행렬 \(A, B\) 는 닮은 행렬 이라고 합니다.
그리고 이와 같은 닮은 행렬을 만드는 연산을 similarity transformation 이라고 합니다.
그러면 두 행렬 \(A, B\) 가 보존하는 성질을 차례 대로 살펴보도록 하겠습니다. 살펴보는 순서는 ① reflexivity, ② symmetry, ③ transitivity, ④ same rank, ⑤ same trace, ⑥ same determinant, ⑦ same eigenvalues 입니다.
주의할 점은 닮은 행렬이면 ① ~ ⑦을 만족하는 것이지 그 역은 성립하지 않는 다는 점입니다.

① reflexivity

\[A = I^{-1} A I \tag{2}\]

항등 행렬을 이용하여 \(A\) 의 닮은 행렬을 표현하면 그대로 \(A\) 로 표현할 수 있습니다. 따라서 reflexivity를 만족합니다.

② symmetry

\[B = P^{-1} A P\]
\[A = (P^{-1})^{-1} B P^{-1} \tag{3}\]

따라서 \(A\) 가 \(B\) 의 닮은 행렬이람련 \(B\) 또한 \(A\) 의 닮은 행렬임을 알 수 있습니다.

③ transitivity

\[B = P_{1}^{-1} A P_{1} \tag{4}\]
\[C = P_{2}^{-1} B P_{2} \tag{5}\]
\[C = (P_{1}P_{2})^{-1} A P_{1}P_{2} \tag{6}\]

식 (6)을 통해 \(A\) 와 \(B\) 가 닮음이고 \(B\) 와 \(C\) 가 닮음이면 \(A\) 와 \(C\) 도 닮음임을 알 수 있습니다.

④ same rank

행렬 \(P\) 는 invertible 하므로 full rank 행렬입니다. 따라서 다음과 같이 전개할 수 있습니다.

\[\text{rank}(AP) = \text{rank}(A) \tag{7}\]
\[\text{rank}(B) = \text{rank}(P^{-1}AP) = \text{rank}(AP) \tag{8}\]

⑤ same trace

trace는 행렬에서 주대각성분의 합입니다. 아래와 같은 전개를 통하여 similarity transformation에서 trace는 유지됩니다.

\[B = P^{-1} A P\]
\[\begin{align} \text{tr}(B) &= \text{tr}(P^{-1}AP) \\ &= \text{tr}(P^{-1}(AP)) \\ &= \text{tr}((AP)P^{-1}) \\ &= \text{tr}(A(PP^{-1})) \\ &= \text{tr}(A) \end{align} \tag{9}\]

⑥ same determinant

닮은 행렬 \(A, B\) 의 determinant는 아래 식과 같은 전개를 통해 그대로 유지 됩니다.

\[B = P^{-1} A P\]
\[\begin{align} \text{det}(B) &= \text{det}(P^{-1}AP) \\ &= \text{det}(P^{-1})\text{det}(A)\text{det}(P) \\ &= \text{det}(A) \quad (\because \text{det}(P^{-1}) = 1 / \text{det}(P)) \end{align} \tag{10}\]

⑦ same eigenvalues

마지막으로 닮은 행렬 \(A, B\) 의 eigenvalue가 같음을 보이도록 하겠습니다. 2가지 방법으로 증명할 예정입니다. 첫번째는 eigenvalue의 정의를 이용하는 방식이고 두번째는 characteristic equation의 determinant를 이용하는 방식을 통해 \(A\) 와 \(B\) 의 eigenvalue가 같음을 보여줍니다.

eigenvalue의 정의를 이용

\[Ax = \lambda x\]
\[P^{-1}BP x = \lambda x\]
\[B(Px) = \lambda (Px)\]
\[By = \lambda y \quad (y = Px) \tag{11}\]

식 (11)을 통하여 \(B\) 의 eigenvalue는 그대로 \(\lambda\) 인 것을 확인할 수 있었고 eigenvector는 \(x \to Px = y\) 로 변경된 것을 확인할 수 있습니다.

characteristic equation의 determinant 이용

\[Ax = \lambda x\]
\[(\lambda I - A)x = 0\]
\[\text{det}(\lambda I - A) = 0 \tag{12}\]

\[\begin{align} \text{det}(\lambda I - B) &= \text{det}(\lambda P^{-1}P - P^{-1}AP) \\ &= \text{det}(P^{-1}(\lambda I - A)P) \\ &= \text{det}(P^{-1}) \text{det}(\lambda I - A) \text{det}(P) \\ &= \text{det}(\lambda I - A) \end{align} \tag{13}\]

식 (13)를 통하여 \(\text{det}(\lambda I - B) = \text{det}(\lambda I - A)\) 를 만족하므로 닮은 행렬에서 eigenvalue \(\lambda\) 는 같은것 을 알 수 있습니다.

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