Similar Matrix (닮은 행렬)

2022, Aug 26    

선형대수학 글 목차

• 이번 글에서는 닮은 행렬에 대하여 간단하게 살펴보도록 하겠습니다. 닮은 행렬 끼리는 rank, trace, determinant, eigenvalue 등이 보존되기 때문에 이와 같은 성질을 이용하고자 할 때, 자주 사용됩니다.

닮은 행렬의 정의

• 먼저 닮은 행렬이란 다음과 같은 관계를 가질 때, $A$ 와 $B$ 의 관계를 의미합니다.
• 아래 식에서 $A, B, P$ 모두 $K \times K$ 의 크기를 가지는 정사각행렬을 의미합니다.

• $$B = P^{-1} A P \tag{1}$$

• 즉, 행렬 $A$ 를 기준으로 좌우에 임의의 $K \times K$ 크기의 정사각행렬 $P^{-1}, P$ 를 곱한 것을 $B$ 라고 하고 두 행렬 $A, B$ 는 닮은 행렬 이라고 합니다.
• 그리고 이와 같은 닮은 행렬을 만드는 연산을 similarity transformation 이라고 합니다.
• 그러면 두 행렬 $A, B$ 가 보존하는 성질을 차례 대로 살펴보도록 하겠습니다. 살펴보는 순서는 ① reflexivity, ② symmetry, ③ transitivity, ④ same rank, ⑤ same trace, ⑥ same determinant, ⑦ same eigenvalues 입니다.
• 주의할 점은 닮은 행렬이면 ① ~ ⑦을 만족하는 것이지 그 역은 성립하지 않는 다는 점입니다.

① reflexivity

• $$A = I^{-1} A I \tag{2}$$

• 항등 행렬을 이용하여 $A$ 의 닮은 행렬을 표현하면 그대로 $A$ 로 표현할 수 있습니다. 따라서 reflexivity를 만족합니다.

② symmetry

• $$B = P^{-1} A P$$
• $$A = (P^{-1})^{-1} B P^{-1} \tag{3}$$

• 따라서 $A$ 가 $B$ 의 닮은 행렬이람련 $B$ 또한 $A$ 의 닮은 행렬임을 알 수 있습니다.

③ transitivity

• $$B = P_{1}^{-1} A P_{1} \tag{4}$$
• $$C = P_{2}^{-1} B P_{2} \tag{5}$$
• $$C = (P_{1}P_{2})^{-1} A P_{1}P_{2} \tag{6}$$

• 식 (6)을 통해 $A$ 와 $B$ 가 닮음이고 $B$ 와 $C$ 가 닮음이면 $A$ 와 $C$ 도 닮음임을 알 수 있습니다.

④ same rank

• 행렬 $P$ 는 invertible 하므로 full rank 행렬입니다. 따라서 다음과 같이 전개할 수 있습니다.

• $$\text{rank}(AP) = \text{rank}(A) \tag{7}$$
• $$\text{rank}(B) = \text{rank}(P^{-1}AP) = \text{rank}(AP) \tag{8}$$

⑤ same trace

• trace는 행렬에서 주대각성분의 합입니다. 아래와 같은 전개를 통하여 similarity transformation에서 trace는 유지됩니다.

• $$B = P^{-1} A P$$
• $$\begin{align} \text{tr}(B) &= \text{tr}(P^{-1}AP) \\ &= \text{tr}(P^{-1}(AP)) \\ &= \text{tr}((AP)P^{-1}) \\ &= \text{tr}(A(PP^{-1})) \\ &= \text{tr}(A) \end{align} \tag{9}$$

⑥ same determinant

• 닮은 행렬 $A, B$ 의 determinant는 아래 식과 같은 전개를 통해 그대로 유지 됩니다.

• $$B = P^{-1} A P$$
• $$\begin{align} \text{det}(B) &= \text{det}(P^{-1}AP) \\ &= \text{det}(P^{-1})\text{det}(A)\text{det}(P) \\ &= \text{det}(A) \quad (\because \text{det}(P^{-1}) = 1 / \text{det}(P)) \end{align} \tag{10}$$

⑦ same eigenvalues

• 마지막으로 닮은 행렬 $A, B$ 의 eigenvalue가 같음을 보이도록 하겠습니다. 2가지 방법으로 증명할 예정입니다. 첫번째는 eigenvalue의 정의를 이용하는 방식이고 두번째는 characteristic equation의 determinant를 이용하는 방식을 통해 $A$ 와 $B$ 의 eigenvalue가 같음을 보여줍니다.

eigenvalue의 정의를 이용

• $$Ax = \lambda x$$
• $$P^{-1}BP x = \lambda x$$
• $$B(Px) = \lambda (Px)$$
• $$By = \lambda y \quad (y = Px) \tag{11}$$

• 식 (11)을 통하여 $B$ 의 eigenvalue는 그대로 $\lambda$ 인 것을 확인할 수 있었고 eigenvector는 $x \to Px = y$ 로 변경된 것을 확인할 수 있습니다.

characteristic equation의 determinant 이용

• $$Ax = \lambda x$$
• $$(\lambda I - A)x = 0$$
• $$\text{det}(\lambda I - A) = 0 \tag{12}$$

• $$\begin{align} \text{det}(\lambda I - B) &= \text{det}(\lambda P^{-1}P - P^{-1}AP) \\ &= \text{det}(P^{-1}(\lambda I - A)P) \\ &= \text{det}(P^{-1}) \text{det}(\lambda I - A) \text{det}(P) \\ &= \text{det}(\lambda I - A) \end{align} \tag{13}$$

• 식 (13)를 통하여 $\text{det}(\lambda I - B) = \text{det}(\lambda I - A)$ 를 만족하므로 닮은 행렬에서 eigenvalue $\lambda$ 는 같은것 을 알 수 있습니다.

선형대수학 글 목차