Skew Symmetric Matrix

Skew Symmetric Matrix는 정사각행렬 \(A\) 에 대하여 전치 행렬이 \(A^{T}\) 라고 할 때, \(A = -A^{T}\) 를 만족하는 행렬을 의미합니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 \\ -2 & 0 & 3 \\ -4 & -3 & 0 \end{bmatrix}\]
\[A^{T} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 \\ -2 & 0 & 3 \\ -4 & -3 & 0 \end{bmatrix}\]
\[\therefore A = -A^{T}\]

① \((A + B)^{T} = -(A + B)\)
② 실수 값으로 이루어진 Real Skew Symmetric Matrix \(A\) 의 모든 대각 성분은 0 입니다. ( \(a_{ii} = -a_{ii}\) )
③ Real Skew Symmetric Matrix \(A\) 의 Eigenvalue 중 실수값은 오직 0입니다. 즉, 0이 아닌 Skew Symmetric Matrix의 Eigenvalue는 허수를 가집니다.
④ Skew Symmetric Matrix에 실수배를 해도 Skew Symmetric Matrix 성질은 유지 됩니다. \((kA)^{T} = -kA\) ( \(k \text{ is real number}\) )
⑤ Real Skew Symmetric Matrix \(A\) 에 대하여 \(I + A\) 는 항상 invertible 합니다. ( \(I \text{ is identity}\) )
⑥ Real Skew Symmetric Matrix \(A\) 에 대하여 \(A^{2}\) 은 Symmetric Negative Semi-Definite Matrix를 만족합니다.

\[Ax = \lambda x\]
\[\bar{x}^{T} A x = \lambda \bar{x}^{T} x = \lambda \Vert x \Vert^{2}\]
\[\bar{x} \text{ is cunjugate of eigenvector x}\]
\[\bar{x}^{T} A x = (Ax)^{T}\bar{x} = x^{T}A^{T}\bar{x} \ \ (\because \text{commutative of dot product.})\]
\[\bar{x}^{T} A x = x^{T}A^{T}\bar{x} = -x^{T}A\bar{x} \ \ (\because A = -A^{T})\]

\[Ax = \lambda x \to A\bar{x} = \bar{\lambda}\bar{x} \ \ (\bar{\lambda}, \bar{x} \text{ are conjugate.})\]
\[A\bar{x} = \bar{\lambda}\bar{x}\]
\[\Rightarrow -x^{T}A\bar{x} = -x^{T}\bar{\lambda}\bar{x} = -\bar{\lambda} \Vert x \Vert^{2}\]
\[-\bar{\lambda} \Vert x \Vert^{2} = \lambda \Vert x \Vert^{2} \ \ (\because -x^{T}A\bar{x} = x^{T}A^{T}\bar{x} = \bar{x}^{T} A x = \lambda \Vert x \Vert^{2})\]
\[(\lambda + \bar{\lambda}) \Vert x \Vert^{2} = 0\]
\[\lambda + \bar{\lambda} = 0 \ \ (\because \Vert x \Vert^{2} \ge 0)\]

위 식에서 \(\bar{\lambda}\) 와 \(\lambda\) 는 conjugate 관계로 정의하였기 때문에 \(\lambda\) 는 2가지 경우의 값을 가집니다.

따라서 \(\lambda\) 가 실수이면 항상 0을 가지게 되며 만약 \(\lambda\) 가 허수라면 순허수 (pure imaginary number)인 \(bi\) 와 같은 형태를 가지게 됩니다.

ⓐ 임의의 정사각행렬 \(A\) 에 대하여 \(A + A^{T}\) 는 Symmetric Matrix이며 \(A - A^{T}\) 는 Skew Symmetric Matrix입니다.

\[\text{Let } Q = A - A^{T}\]
\[Q^{T} = (A + (-A)^{T})^{T} = A^{T} + (-A^{T})^{T} = A^{T} - (A^{T})^{T} = A^{T} - A = -(A - A^{T}) = -Q\]
\[\Rightarrow A - A^{T} \text{ is a skew-symmetric matrix.}\]

ⓑ 임의의 정사각행렬 \(A\) 는 symmetric matrix와 skew-symmetric matrix의 합으로 나타낼 수 있습니다. (④ 성질과 ⓐ 정리를 이용)

\[A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & m \\ -b & -m & 0 \end{bmatrix}\]
\[\begin{align} \text{det}(A) &= 0 \cdot (\text{cofactor of } a_{11}) + a \cdot (\text{cofactor of } a_{12}) + b \cdot (\text{cofactor of } a_{13}) \\ &= a \cdot (\text{cofactor of } a_{12}) + b \cdot (\text{cofactor of } a_{13}) \\ &= a \cdot ((-1)^{1 + 2}(0 - (-bm))) + b \cdot ((-1)^{1 + 3}(am)) \\ &= a \cdot (-1)^{3} \cdot (bm) + b \cdot (-1)^{4} \cdot (am) \\ &= -abm + abm = 0 \end{align}\]
위 예시와 같이 홀수 차수에 대해서는 항상 determinant가 0이 됩니다.
일반화를 위하여 다음과 같은 방식으로 적용해 볼 수 있습니다. 아래 식의 \(n\) 은 행렬의 차수입니다.

\[\text{det}(A) = \text{det}(-A^{T}) = (-1)^{n}\text{det}(A^{T}) = (-1)^{2k-1} \text{det}(A^{T}) = -\text{det}(A)\]
\[\therefore \text{det}(A) = 0\]

앞에서 다룬 ③의 Eigenvalue 값 증명 과정에서 conjugate인 \(\lambda = -\bar{\lambda}\) 임을 확인하였습니다. 이 때, 2가지 경우가 있음을 확인하였습니다.

\[\lambda = 0, \quad \bar{\lambda} = 0 \ \ ( \lambda, \bar{\lambda} \text{ are real number.} )\]
\[\lambda = bi, \quad \bar{\lambda} = -bi \ \ ( \lambda, \bar{\lambda} \text{ are pure imaginary number.} )\]

먼저 \(\lambda, \bar{\lambda}\) 가 실수이면 0이어야 하므로 \(\text{det}(A) = 0\) 이 되어 만족합니다. 왜냐하면 모든 Eigenvalue의 곱이 determinant가 되기 때문입니다.

\[\text{det}(A) = \prod_{j=1}^{k} \lambda_{j}\bar{\lambda_{j}} = \prod_{j=1}^{k}(b_{j}i)(-b_{j}i) = \prod_{j=1}^{k}b_{j}^{2} \ge 0\]