Skew Symmetric Matrix

Skew Symmetric Matrix는 정사각행렬 $A$ 에 대하여 전치 행렬이 $A^{T}$ 라고 할 때, $A = -A^{T}$ 를 만족하는 행렬을 의미합니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

① $(A + B)^{T} = -(A + B)$
② 실수 값으로 이루어진 Real Skew Symmetric Matrix $A$ 의 모든 대각 성분은 0 입니다. ( $a_{ii} = -a_{ii}$ )
③ Real Skew Symmetric Matrix $A$ 의 Eigenvalue 중 실수값은 오직 0입니다. 즉, 0이 아닌 Skew Symmetric Matrix의 Eigenvalue는 허수를 가집니다.
④ Skew Symmetric Matrix에 실수배를 해도 Skew Symmetric Matrix 성질은 유지 됩니다. $(kA)^{T} = -kA$ ( $k \text{ is real number}$ )
⑤ Real Skew Symmetric Matrix $A$ 에 대하여 $I + A$ 는 항상 invertible 합니다. ( $I \text{ is identity}$ )
⑥ Real Skew Symmetric Matrix $A$ 에 대하여 $A^{2}$ 은 Symmetric Negative Semi-Definite Matrix를 만족합니다.

$Ax = \lambda x$
$\bar{x}^{T} A x = \lambda \bar{x}^{T} x = \lambda \Vert x \Vert^{2}$
$\bar{x} \text{ is cunjugate of eigenvector x}$
$\bar{x}^{T} A x = (Ax)^{T}\bar{x} = x^{T}A^{T}\bar{x} \ \ (\because \text{commutative of dot product.})$
$\bar{x}^{T} A x = x^{T}A^{T}\bar{x} = -x^{T}A\bar{x} \ \ (\because A = -A^{T})$

$Ax = \lambda x \to A\bar{x} = \bar{\lambda}\bar{x} \ \ (\bar{\lambda}, \bar{x} \text{ are conjugate.})$
$A\bar{x} = \bar{\lambda}\bar{x}$
$\Rightarrow -x^{T}A\bar{x} = -x^{T}\bar{\lambda}\bar{x} = -\bar{\lambda} \Vert x \Vert^{2}$
$-\bar{\lambda} \Vert x \Vert^{2} = \lambda \Vert x \Vert^{2} \ \ (\because -x^{T}A\bar{x} = x^{T}A^{T}\bar{x} = \bar{x}^{T} A x = \lambda \Vert x \Vert^{2})$
$(\lambda + \bar{\lambda}) \Vert x \Vert^{2} = 0$
$\lambda + \bar{\lambda} = 0 \ \ (\because \Vert x \Vert^{2} \ge 0)$

위 식에서 $\bar{\lambda}$ 와 $\lambda$ 는 conjugate 관계로 정의하였기 때문에 $\lambda$ 는 2가지 경우의 값을 가집니다.

따라서 $\lambda$ 가 실수이면 항상 0을 가지게 되며 만약 $\lambda$ 가 허수라면 순허수 (pure imaginary number)인 $bi$ 와 같은 형태를 가지게 됩니다.

ⓐ 임의의 정사각행렬 $A$ 에 대하여 $A + A^{T}$ 는 Symmetric Matrix이며 $A - A^{T}$ 는 Skew Symmetric Matrix입니다.

$\text{Let } Q = A - A^{T}$
$Q^{T} = (A + (-A)^{T})^{T} = A^{T} + (-A^{T})^{T} = A^{T} - (A^{T})^{T} = A^{T} - A = -(A - A^{T}) = -Q$
$\Rightarrow A - A^{T} \text{ is a skew-symmetric matrix.}$

ⓑ 임의의 정사각행렬 $A$ 는 symmetric matrix와 skew-symmetric matrix의 합으로 나타낼 수 있습니다. (④ 성질과 ⓐ 정리를 이용)

$A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & m \\ -b & -m & 0 \end{bmatrix}$
$\begin{align} \text{det}(A) &= 0 \cdot (\text{cofactor of } a_{11}) + a \cdot (\text{cofactor of } a_{12}) + b \cdot (\text{cofactor of } a_{13}) \\ &= a \cdot (\text{cofactor of } a_{12}) + b \cdot (\text{cofactor of } a_{13}) \\ &= a \cdot ((-1)^{1 + 2}(0 - (-bm))) + b \cdot ((-1)^{1 + 3}(am)) \\ &= a \cdot (-1)^{3} \cdot (bm) + b \cdot (-1)^{4} \cdot (am) \\ &= -abm + abm = 0 \end{align}$
위 예시와 같이 홀수 차수에 대해서는 항상 determinant가 0이 됩니다.
일반화를 위하여 다음과 같은 방식으로 적용해 볼 수 있습니다. 아래 식의 $n$ 은 행렬의 차수입니다.

$\text{det}(A) = \text{det}(-A^{T}) = (-1)^{n}\text{det}(A^{T}) = (-1)^{2k-1} \text{det}(A^{T}) = -\text{det}(A)$
$\therefore \text{det}(A) = 0$

앞에서 다룬 ③의 Eigenvalue 값 증명 과정에서 conjugate인 $\lambda = -\bar{\lambda}$ 임을 확인하였습니다. 이 때, 2가지 경우가 있음을 확인하였습니다.

$\lambda = 0, \quad \bar{\lambda} = 0 \ \ ( \lambda, \bar{\lambda} \text{ are real number.} )$
$\lambda = bi, \quad \bar{\lambda} = -bi \ \ ( \lambda, \bar{\lambda} \text{ are pure imaginary number.} )$

먼저 $\lambda, \bar{\lambda}$ 가 실수이면 0이어야 하므로 $\text{det}(A) = 0$ 이 되어 만족합니다. 왜냐하면 모든 Eigenvalue의 곱이 determinant가 되기 때문입니다.

$\text{det}(A) = \prod_{j=1}^{k} \lambda_{j}\bar{\lambda_{j}} = \prod_{j=1}^{k}(b_{j}i)(-b_{j}i) = \prod_{j=1}^{k}b_{j}^{2} \ge 0$