Double Sphere 카메라 모델 및 다양한 카메라 모델의 종류 (Pinhole, UCM, EUCM, Kannala-Brandt Camera Model 등)

2022, Jun 18    

• 논문 : https://arxiv.org/abs/1807.08957
• 참조 : https://vision.in.tum.de/research/vslam/double-sphere

• 본 글은 The Double Sphere Camera Model이라는 논문 내용을 기준으로 작성하였습니다. 논문을 작성한 랩실이 유명한 Daniel Cremers의 랩실에서 작성한 논문인 것에서 관심이 가기도 하였습니다.
• 이번 글에서는 최종적으로 Double Sphere라는 카메라 모델을 소개하고자 하며 Double Sphere 카메라 모델은 UCM 및 EUCM 카메라 모델 등의 Generic Camera Model을 발전시킨 카메라 모델입니다.

• Double Sphere 카메라 모델은 위 그림과 같이 2개의 Sphere를 기준으로 모델링 되었기 때문에 Double Sphere라는 이름으로 지어졌으며 이는 단일 Spehere를 가지는 UCM, EUCM과의 차이점입니다.
• Double Sphere 카메라 모델의 파라미터는 총 6개로 적당한 수준이며 fisheye 카메라와 같은 넓은 화각에 대해서도 카메라 캘리브레이션 성능이 좋으며 projection 및 unprojection이 모두 closed-form 형태로 구성되어 있습니다. 그리고 projection 및 unprojection의 계산 시 삼각 함수와 같이 계산 비용이 큰 함수도 없기 때문에 계산 복잡도도 낮은 이점이 있습니다.

목차

• Abstract

• Introduction

• Related Work

• Pinhole Camera Model

• Unified Camera Model

• Extended Unified Camera Model

• Kannala-Brandt Camera Model

• Field-of-View Camera Model

• Double Sphere Camera Model

• Calibration

• Evaluation

• Conclusion

• Appendix

Abstract

• 비전 기반의 다양한 어플리케이션을 개발하기 위하여 넓은 영역의 FOV (Field Of View)를 가지는 카메라가 많이 사용되고 있습니다. 본 논문에서 사용하는 카메라 렌즈는 fisheye 카메라 렌즈로 저렴한 가격과 넓은 시야의 장점으로 많이 사용되고 있습니다. 따라서 본 논문에서는 fisheye 카메라 렌즈의 다양한 카메라를 이용하여 실험을 진행하였습니다.
• 논문에서 제안하는 Double Sphere 카메라 모델은 projection 및 unprojection 각각에 대하여 closed-form 형태의 식을 가지며 계산 복잡도 낮은 장점을 가집니다.
• Double Sphere 카메라 모델의 유효성을 다양한 카메라 모델과 다양한 카메라 데이터셋에서 검증하였으며 reprojection error, projection, unprojection, Jacobian computational time에 대하여 우수한 성능을 지님을 보여줍니다.

Introduction

• Visual Odometry 또는 SLAM 등의 어플리케이션이 중요해 지고 있으며 이러한 어플리케이션의 성능을 향상시키기 위하여 하드웨어와 소프트웨어의 개선이 필요해지고 있습니다. large field-of-view 카메라는 이와 같은 어플리케이션에서 몇가지 개선점을 제공합니다.
• ① large FOV 카메라는 더 많은 texture 영역을 이미지 내에 담을 수 있고 이러한 특성은 비전 기반의 motion estimation에 필수적입니다.
• ② large FOV 카메라는 같은 해상도의 small FOV 카메라에 비하여 카메라의 움직임을 더 작은 픽셀의 움직임으로 매핑하여 표현할 수 있습니다. 즉, 카메라의 움직임을 더 촘촘하게 표현할 수 있다는 뜻입니다. 이와 같은 장점은 픽셀의 움직임을 예측하는 optical flow에 큰 도움이 됩니다.
• 이러한 장점들이 motion estimation에 큰 도움을 주므로 large FOV의 대표적인 카메라 렌즈인 fisheye lense가 실생활에 많이 새용되고 있습니다. 따라서 본 논문에서는 large FOV 카메라 렌즈 중 fisheye lense를 기준으로 실험 및 기술이 될 예정입니다.

• 앞으로 다룰 내용은 다양한 카메라 모델을 fisheye 카메라 렌즈를 사용하는 다양한 카메라에 대하여 성능을 검토하였으며 카메라 모델 별 projection, unprojection 함수 등을 제공합니다.
• 기존에 사용하던 다양한 카메라 모델에 대한 설명과 함께 논문에서 제시하는 Double Sphere 카메라 모델에 대한 설명을 추가적으로 이어가겠습니다. 앞에서 언급한 바와 같이 Double Sphere 카메라 모델은 ① 화각이 넓은 fisheye 렌즈와 같은 환경에서 projection이 잘 되도록 모델링 되어 있고 ② projection, unprojection 시 삼각함수와 같은 계산 비용이 큰 계산을 필요로 하지 않습니다. 또한 ③ unprojection 함수 식이 근사식으로 구하는 것이 아니라 closed-form 형태로 지정되어 있다는 장점이 있습니다.
• 각 카메라 모델에 대한 소개를 한 후에 비전 기반의 motion estimation과 연관된 지표인 reprojection error와 계산 효율성과 관련된 projection, unprojection computational time과 Jacobbian 연산 시간을 통해 비교해 보도록 하겠습니다.

Related Work

• 앞으로 사용할 기호에 대하여 먼저 정리하도록 하겠습니다.

• ① $\text{scalars}, u, v, ...$ : 소문자로 나타낸 값을 스칼라 값으로 표현합니다.
• ② $\text{matrices} \mathbf{R}$ : 대문자로 나타낸 값을 행렬로 표현합니다.
• ③ $\text{vectors}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ : 굵은 글씨체의 소문자로 나타낸 값을 벡터로 표현합니다.
• ④ $\Theta$ : 3D 포인트가 projection 된 2D 이미지 공간을 의미합니다.
  • 따라서 $\mathbf{u} = [u, v]^{T} \in \Theta \subset \mathbb{R}^{2}$ 표현은 이미지 좌표계의 각 픽셀 $\mathbf{u}$ 는 $\Theta$ 에 속함을 의미합니다.
• ⑤ $\Omega$ : 3D 포인트 집합을 의미합니다.
  • 따라서 $\mathbf{x} = [x, y, z]^{T} \in \Omega \subset \mathbb{R}^{3}$ 표현은 3D 포인트 $\mathbf{x}$ 가 $\Omega$ 에 속함을 의미합니다.
• ⑥ $x, y, z$ : 카메라 좌표계는 principal axis 축이 $z$ 축이 되며 image plane의 width 방향이 $x$, height 방향이 $y$ 인 것과 동일하게 적용됩니다.
• ⑦ $\text{SE(3)}$ : 논문에서 소개하는 캘리브레이션 패턴의 3D 좌표계에서 카메라 좌표계로 변환하는 Transformation Matrix는 Special Euclidean Group임을 뜻합니다. SE(3)에 대한 상세 내용은 글 가장 아랫부분의 Appendix부분에 따로 정리하였습니다.
• ⑧ $\pi$ : 3D 포인트를 2D 이미지 공간에 projection 하는 함수를 의미합니다. 따라서 다음과 같이 기호로 표현합니다. $\pi : \Omega \to \Theta$
• ⑨ $\pi^{-1}$ : 2D 이미지 공간의 픽셀 값을 focal length (vector of unit lenght)가 1인 normalized(standardized) image plane으로 변환하는 함수를 의미합니다. 2D 이미지 공간으로 projection 되었기 때문에 $z$ 값이 사라져서 unprojection 결과는 normalized image plane 까지 변환할 수 있습니다. 본 논문에서는 normalized image plane에서 더 나아가 unit sphere에 대응하는 것 까지 확장합니다. sphere는 3차원 공간에서 다른 점으로부터 같은 거리에 있는 모든 점의 집합을 찾아 생성된 2차원 표면입니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

• $$d(x, c) = \sqrt{\sum_{i=1}^{3} (x_{i} - c_{i})^{2}}$$

• unit sphere는 구의 모든 점이 중심에서 하나의 거리에 있도록 하는 구입니다. 휘어져 있기 때문에 3차원 공간에 내장되어 표현되는 경우가 많습니다.

• 위 그림과 같이 2차원 표면을 sphere라고 하며 3차원으로 확장하면 ball 이라고 합니다.
• 이러한 이유로 논문에서는 sphere를 $\mathbb{S}^{2}$ 로 표현합니다. 따라서 다음과 같이 기호로 표현할 수 있습니다. $\pi^{-1} : \Theta \to \mathbb{S}^{2}$

Pinhole Camera Model

• 먼저 소개하는 카메라 모델은 가장 기본적인 Pinhole 카메라 모델 입니다. Pinhole 카메라 모델은 카메라 렌즈의 왜곡 (distortion)이 없다고 가정한 카메라 모델이며 앞으로 다룰 distortion 모델들은 Pinhole 카메라 모델에 렌즈 왜곡을 반영한 모델입니다.
• 먼저 가장 기본이 되는 Pinhole 카메라 모델의 projection, unprojection에 대하여 다루어 보도록 하겠습니다. Pinhole 카메라 모델의 파라미터는 4개이며 다음과 같습니다.

• $$i = [f_{x}, f_{y}, c_{x}, c_{y}]^{T}$$

• 위 4가지 파라미터의 상세 내용은 아래 글을 참조하시면 됩니다.
  • 링크 : https://gaussian37.github.io/vision-concept-calibration/

• Pinhole 카메라 모델에서는 3D 포인트를 2D 이미지 좌표계로 변형하려면 다음과 같습니다.

• 카메라 렌즈의 왜곡이 없기 때문에 단순히 $z$ 로 나누기만 하면 undistorted normalized image plane으로 사영됩니다.
• projection 시 유효한 값들은 $z > 0$ 인 범위의 값이며 기호로 나타내면 다음과 같습니다.

• $$\Omega = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} \vert z > 0 \}$$

• 위 조건으로 인하여 FOV (field-of-view)는 180도 이하만 유효합니다. 즉 카메라 원점 기준으로 뒤의 값은 투영될 수 없습니다.
• 본 글에서는 Pinhole 카메라 모델에 lense distortion을 반영하기 위한 모델이 추가되어 120도 이상의 화각을 가지는 카메라 렌즈를 어떻게 사용할 지 다룰 예정입니다.

• Pinhole 카메라 모델의 unprojection 식은 다음 식과 같습니다. $\pi^{-1} : \Theta \to \mathbb{S}^{2}$ 이기 때문에 최종 변환 지점은 unit sphere입니다. 즉, 일반적으로 사용하는 normalized image plane이 아니므로 식이 조금 다릅니다.

• 일반적으로 위 식의 $[m_{x}, m_{y}, 1]^{T}$ 가 2D image plane에서 normalized image plane으로 변환하는 식에 해당합니다.
• 카메라 중점과 depth가 1이 되는 지점을 normalized image plane이라고 부릅니다. 반면 카메라 중점과 distance가 1이 되는 지점을 unit sphere라고 부르며 이번 글에서는 unit sphere를 위주로 다룹니다.
• 위 식에서는 $1 / \sqrt{m_{x}^{2} + m_{y}^{2} + 1}$ 이 추가로 곱해집니다. 이 값은 $\sqrt{(m_{x} - 0)^{2} + (m_{y} - 0)^{2} + (1 - 0)^{2}}$ 인 distance 값을 나누어 준 값으로 unit sphere 형태로 만들어 주기 위해 곱해집니다. 즉, normalized image plane에서의 모든 distance를 각 픽셀 별로 나누어 줌으로써 모든 거리가 동일한 unit sphere로 변환됩니다.

• unit sphere는 위 그림처럼 distance가 1이 되도록 만든 sphere 입니다.
• 이 글에서 표현하는 모든 projection은 3D Point → unit sphere → normalized image plane → image plane이고 unprojection은 그 역순입니다.
• 따라서 본 논문의 unprojection의 결과는 image plane → unit sphere로의 변환이며 unit sphere의 좌표에서 depth 방향의 값을 곱하여 scale을 조정하면 실제 3D Point의 $X, Y, Z$ 좌표값이 됩니다. 예를 들어 unit sphere 상에서 어떤 점은 $(X, Y, Z)$ 값을 가지고 depth 방향으로 $d$ 값을 가지면 depth 값을 곱하여 $(X*d, Y*d, Z*d)$ 가 됩니다. 왜냐하면 3D Point 에서 unit sphere 표면 까지는 직진하기 때문입니다.
• 반면 unit sphere → normalized image plane 까지는 unit sphere 표면에서 한번 굴절되며 이 굴절되는 정도는 카메라 모델에 따라서 바뀌게 됩니다. 따라서 다음의 형태를 가집니다.

• 위 그림은 카메라 원점으로 부터 distance가 1인 지점 까지의 unit sphere가 depth가 1인 지점인 normalized image plane으로 변환되어야 하는 것을 나타낸 것입니다. 개념적으로 나타내면 위 그림과 같이 곡면이 평면으로 펴지게 됩니다.

• Pinhole 모델에서는 unit sphere에서 normalized image plane 까지 굴절이 없이 직진하기 때문에 projection 시 별다른 수식이 없었습니다.
• 반면 앞으로 다룰 다른 카메라 모델에서는 unit sphere에서 normalized image plane 까지 다양한 방식의 굴절을 반영하기 때문에 Pinhole 모델보다 다소 복잡한 식을 가지게 되며 이 내용을 다루어 보도록 하겠습니다.

Unified Camera Model

• Unified Camera Model에 대한 상세 내용은 아래 링크에서 확인할 수 있습니다.
  • 참조 : https://gaussian37.github.io/vision-concept-unified_camera_model/

Extended Unified Camera Model

Kannala-Brandt Camera Model

• Kannala-Brandt Camera Model에 대한 상세 내용은 아래 링크에서 확인할 수 있습니다.
  • 참조 : https://gaussian37.github.io/vision-concept-generic_camera_model/

Field-of-View Camera Model

Double Sphere Camera Model

• 논문에서 제시하는 Double Sphere 카메라 모델에 대하여 설명해 보도록 하곘습니다. 글 서두에 말씀드린 바와 같이 Double Sphere 카메라 모델은 화각이 넓은 fisheye lense와 같은 환경에서도 잘 동작하며 unprojection을 위한 closed-form 형태의 식이 존재하고 그 계산량도 적다는 것을 확인하였었습니다.

• Double Sphere 카메라 모델은 위 그림과 같이 이름 그대로 3D 포인트가 2개의 단위 구에 투영되는 형태를 가집니다.
• 3D 포인트가 먼저 초록색 구에 투영되면서 꺽이게 되고 그 다음 빨간색 구에 투영되면서 한번 더 꺽이면서 렌즈 굴절이 반영됩니다. 빨간색 구의 중심은 $\xi$ 만큼 이동되어 있고 이 값이 구의 반영을 결정하는 파라미터가 됩니다.
• 가장 아래 부분의 검은색 가로 실선인 normalized image plane과 빨간색 구의 중심 간의 거리가 $\frac{\alpha}{1 - \alpha}$ 로 결정됩니다. 따라서 $\xi$ 와 $\frac{\alpha}{1 - \alpha}$ 가 같이 결합되어 변수가 동작하도록 되어 있습니다.

• 위 그림과 같이 Double Sphere 모델에서 구에 의해 꺽이는 양을 표현하면 위 그림과 같습니다. 다만 Double Sphere 카메라 모델 에서는 앞의 다른 카메라 모델과 같이 실제 꺽이는 양을 모델링 하지 않고 $\alpha, \xi$ 값을 이용하여 normalized image plane에 어떻게 투영되는 지 모델링 하는 방법을 사용하였습니다.
• 즉, UCM과 비교하였을 때, $\frac{\alpha}{1 - \alpha}$ 만큼 shift가 시작되는 시점이 $\xi$ 만큼 이동되는 것이고 그 첫번째 구와 두번째 구의 복합적인 꺽임 양은 $\xi, \alpha$의 결합으로 이루어짐을 알 수 있습니다.

• 위 그림을 기준으로 $\xi = 0, \alpha = 0$ 이 되면 핀홀 모델이 됩니다. 즉, 빨간색 구의 중심이 초록색 구의 중심으로 이동되면서 구의 중심이 하나가 되고 구로 인해 꺽이는 양도 사라져서 normalized image plane이 초록색 및 빨간색 구의 중심선에 생기게 되는 경우입니다.
• 논문에서는 이와 같은 방식의 카메라 모델을 사용하였을 때 캘리브레이션 패턴에서의 꼭지점이 에러가 적은 형태로 잘 projection 되는 것을 확인할 수 있음을 보여줍니다.
• 그러면 Double Sphere 카메라 모델에 관련된 수식 내용을 상세히 살펴보도록 하겠습니다.

• Double Sphere는 6개의 파라미터를 가집니다.

• $$i = [f_{x}, f_{y}, c_{x}, c_{y}, \xi, \alpha]^{T}$$

• 위 파라미터 $i$ 를 이용하여 3D 포인트를 2D로 projection 하는 함수 $\pi$ 를 정의하면 다음과 같습니다.

• 앞에서 살펴본 UCM 계열과 같이 분모의 $\alpha d_{2} + (1-\alpha)(\xi d_{1} + z)$ 를 통하여 단번에 undistorted normalized plane 으로 접근합니다.

• 다음은 UCM과 마찬가지로 $\alpha$ 값의 크기에 따라 undistorted normalized plane의 위치가 바뀌므로 $\alpha$ 와 다른 파라미터 값에 따라서 3D 포인트가 2D 이미지의 FOV에 유효한 지 확인하는 함수 식입니다.

• 다음으로 unprojection하는 closed-form 형태의 식이며 unprojection 결과 2D 이미지 좌표계에서 distorted normalized plane으로 변환하는 역할을 합니다.
• 만약 z값을 복원할 수 있으면 $z \pi^{-1}(u, i) = \mathbf{x}$ 로 3D 포인트를 구할 수 있습니다. unprojection 식은 다음과 같습니다.

Calibration

Evaluation

Conclusion

• 본 논문에서는 16개의 카메라 데이터셋과 6개의 카메라 모델을 통하여 실험을 진행하였고 Double Sphere 카메라 모델의 타당함을 보여주었습니다.
• 정확도 성능 측면에서는 8개의 파라미터를 사용하는 Kannala-Brandt 카메라 모델 성능이 가장 좋았으며 Double Sphre 모델이 근소한 차이로 그 뒤를 따랐습니다. 다만 Kannala-Brandt 카메라 모델은 계산량이 많아 다른 카메라 모델에 비해 5 ~ 10배 정도 느린 단점이 있었습니다.
• Kannala-Brandt는 closed-form형태의 unprojection 식이 없다는 단점과 계산량이 크다는 단점이 있는 반면 그 다음으로 성능이 좋은 Double Sphere 카메라 모델은 closed-form 형태의 unprojection 식이 있으며 계산량도 적다는 장점이 있습니다.
• 따라서 본 논문에서는 넓은 화각의 굴곡이 큰 카메라 렌즈에서 Double Sphere 카메라 모델을 사용하는 것의 유효성을 확인할 수 있었습니다.

Appendix

SO(3)와 SE(3)

• 참조 : https://alida.tistory.com/9#org3029dbb
• Lie Group 종류 중 Special Orthogonal 3 Group 줄여서 SO(3) Group과 Special Euclidaen 3 Group 줄여서 SE(3) Group이 있습니다. 3D 공간 상에서 Transformation Matrix를 다룰 때 SO(3) Group은 3차원 회전 행렬을 다루고 SE(3) Group은 3차원 강체 변환 (Rigid Transformation) 행렬을 다룹니다.
• 여기서는 본 논문의 이해를 돕기 위하여 SO(3) Group과 SE(3) Group의 의미와 간단한 성질만 살펴보겠습니다. 상세 내용은 위 참조 링크를 확인해 보시기 바랍니다.

• SO(3) Group은 3차원 Rotation Matrix와 이에 닫혀 있는 연산들로 구성된 군을 의미하며 3차원 물체의 회전을 표현하는 데 사용됩니다.

• $$\begin{equation} \begin{aligned} SO(3)= \{\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \ \vert \ \mathbf{R} \mathbf{R}^{T} = \mathbf{I}, \text{det}(\mathbf{R})=1 \} \end{aligned} \end{equation}$$

• SO(3) Group의 속성은 다음과 같습니다.
• Associativity : $\mathbf{R}_{1} \cdot \mathbf{R}_{2}) \cdot \mathbf{R}_{3} = \mathbf{R}_{1} \cdot (\mathbf{R}_{2} \cdot \mathbf{R}_{3})$ 즉, 결합 법칙이 성립합니다.
• Identity element : $\mathbf{R} \cdot \mathbf{I} = \mathbf{I} \cdot \mathbf{R}  = \mathbf{R}$ 를 만족하는 3 X 3 항등 행렬 $\mathbf{I}$ 가 존재합니다.
• Inverse : $\mathbf{R}^{-1} \cdot \mathbf{R} = \mathbf{R}\cdot\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{I}$ 을 만족하는 역행렬이 존재하며 $\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}^{\intercal}$ 가 됩니다. 따라서 $\mathbf{R}\cdot \mathbf{R}^{\intercal} = \mathbf{I}$ 를 만족합니다.
• Composition : SO(3) Group의 합성은 다음과 같이 행렬의 곱셈 연산으로 표현할 수 있습니다. $\begin{equation} \begin{aligned} & \mathbf{R}_{1} \cdot \mathbf{R}_{2} = \mathbf{R}_{3} \in SO(3) \end{aligned} \end{equation}$
• Non-commutative : $\mathbf{R}_{1}\cdot\mathbf{R}_{2} \neq \mathbf{R}_{2}\cdot\mathbf{R}_{1}$ 교환 법칙이 성립하지 않습니다.
• Determinant : $\text{det}(\mathbf{R})=1$ 을 만족합니다.
• Rotation : $\mathbb{P}^{2}$ 공간 상의 점 또는 벡터 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x&y&z \end{bmatrix}^{\intercal} \in \mathbb{P}^{2}$ 를 다른 방향의 점 또는 벡터 $\mathbf{x}'$ 로 회전시킬 수 있습니다. $\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{x}' = \mathbf{R}\cdot \mathbf{x} \end{aligned} \end{equation}$

• 논문에서 사용한 SE(3) Group은 3차원 공간 상에서 Rigid Body Transformation과 관련된 행렬과 이에 닫혀 있는 연산들로 구성된 Group을 의미합니다. 즉, Rotation과 Translation이 모두 반영되어 있습니다.

• $$\begin{equation} \begin{aligned} SE(3) = \left \{ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times4} \ | \ \mathbf{R} \in SO(3), \mathbf{t} \in \mathbb{R}^{3}  \right \} \end{aligned} \end{equation}$$

• SE(3) Group의 속성은 다음과 같습니다.
• Associativity : $\mathbf{T}_{1} \cdot \mathbf{T}_{2}) \cdot \mathbf{T}_{3} = \mathbf{T}_{1} \cdot (\mathbf{T}_{2} \cdot \mathbf{T}_{3})$ 와 같이 결합 법칙이 성립합니다.
• Identity element : $\mathbf{T} \cdot \mathbf{I} = \mathbf{I} \cdot \mathbf{T}  = \mathbf{T}$ 를 만족하는 4 x 4 항등 행렬 $\mathbf{I}$ 가 존재합니다.
• Inverse : $\mathbf{T}^{-1} \cdot \mathbf{T} = \mathbf{T}\cdot\mathbf{T}^{-1} = \mathbf{I}$ 을 만족하는 역행렬이 다음과 같습니다.

• $$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{T}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{R}^{T} & -\mathbf{R}^{T}\mathbf{t} \\ \mathbf{0} & 1\end{bmatrix} \end{aligned} \end{equation}$$

• Composition : SE(3) Group의 Composition은 아래와 같이 행렬의 곱셈 연산으로 이루어집니다.

• $$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{T}_{1} \cdot \mathbf{T}_{2} & = \begin{bmatrix} \mathbf{R}_{1} & \mathbf{t}_{1} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathbf{R}_{2} & \mathbf{t}_{2} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} \mathbf{R}_{1}\mathbf{R}_{2} & \mathbf{R}_{1}\mathbf{t}_{2} + \mathbf{t}_{1} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \in SE(3) \end{aligned} \end{equation}$$

• Non-commutative : $\mathbf{T}_{1}\cdot\mathbf{T}_{2} \neq \mathbf{T}_{2}\cdot\mathbf{T}_{1}$ 교환 법칙이 성립하지 않습니다.
• Transformation : $\mathbb{P}^{3}$ 공간 상의 점 또는 벡터 $\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X&Y&Z&W \end{bmatrix}^{\intercal} \in \mathbb{P}^{3}$ 를 다른 방향과 위치를 가지는 점 또는 벡터 $\mathbf{X}'$ 로 변환할 수 있습니다.

• $$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{X}' = \mathbf{T}\cdot \mathbf{X} & = \begin{bmatrix} \mathbf{R}&\mathbf{t}\\\mathbf{0}&1 \end{bmatrix} \cdot \mathbf{X} \\ & = \begin{bmatrix} \mathbf{R}(X \ Y \ Z)^{T} + W \cdot \mathbf{t} \\ W \end{bmatrix} \end{aligned} \end{equation}$$