극 좌표계 (Polar Coordinate System)
2020, Aug 26
- 이번 글은 간단하게
극 좌표계 (Polar Coordinate)에 관련된 내용을 다루어 보려고 합니다.
- 일반적으로 좌표계는 테카르트 좌표계 (직교 좌표계)를 사용합니다. 가로축이 \(x\) 축이 되고 세로축이 \(y\) 축이 되는 형태입니다.
- 하지만 물체의 이동 및 회전이 동시에 고려되어야 한다면 데카르트 좌표계에서는 회전에 따른 \(x, y\) 의 변화를 매번 계산해야 하는 불편함이 발생합니다.
- 따라서 회전 동작을 편리하게 사용하기 위하여 고안된 좌표계가 본 글에서 소개하는
극 좌표계 (Polar Coordinate System)입니다.
- 극 좌표계는 위 그림과 같이 원점으로부터의 거리 \(r\) 과 각 \(\theta\) 의 두 요소로 구성되며 극좌표계의 좌표는 \((r, \theta)\) 로 표시됩니다.
- 극 좌표계는 동심원의 형태로 평면의 모든 점을 표현할 수 있으며 주로 시간에 따른 회전의 움직임을 구현하기에 용이합니다.
- 데카르트 좌표계에서 표현된 벡터 \((x, y)\) 는 벡터의 크기와
arctan함수를 사용하여 다음과 같이 \((r, \theta)\) 로 변환할 수 있습니다.
- \[r = \sqrt{(x^{2} + y^{2})} \tag{1}\]
- \[\theta = \text{atan2}{(y, x)} \tag{2}\]
- 참고로 \(\text{atan2}{(y, x)}\) 는 1사분면에서의 \(\text{atan}{(y/x)}\) 와 같습니다. 하지만 다른 사분면에서는 부호에 따라 값이 달라질 수 있습니다.
atan은 두 점 사이의 탄젠트 값을 받아 \(-\pi/2\) ~ \(\pi/2\) 범위의 라디안 값 (-90도 ~ 90도)을 반환하는 반면atan2는 두 점 사이의 상대좌표 \((x, y)\) 를 받아 \(-\pi\) ~ \(\pi\) 범위의 라디안 값 (-180도 ~ 180도)의 라디안 값을 반환합니다.
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- 또는 -의 부호가 표시되는 데카르트 좌표계에서는
atan2를 사용하면 좌표값을 인자로 사용하면 되기 때문에 보통atan2를 사용합니다.
- 또는 -의 부호가 표시되는 데카르트 좌표계에서는
- 반대로 극 좌표계의 좌표 \((r, \theta)\) 를 데카르트 좌표계 \((x, y)\) 로 변환하는 식은 삼각함수를 사용해 구할 수 있습니다.
- \[x = r \cdot \cos{(\theta)} \tag{3}\]
- \[y = r \cdot \sin{(\theta)} \tag{4}\]