회전 변환 행렬 (2D, 3D)

선형대수학 글 목차

참조 : https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
참조 : https://ko.wikipedia.org/wiki/회전변환행렬

이번 글에서는 2D와 3D 상태에서의 좌표의 회전 변환하는 방법에 대하여 알아보도록 하겠습니다.

2D에서의 회전 변환

2D 좌표계에서 회전 변환을 할 때 사용하는 변환 행렬은 다음과 같습니다.

\[R(\theta) = \begin{bmatrix} \text{cos}\theta & -\text{sin}\theta \\ \text{sin}\theta & \text{cos}\theta \end{bmatrix}\]

여기서 $\theta$는 각도에 해당합니다. 반시계 방향으로 회전하는 방향이 + 각도가 됩니다.
위 회전 행렬을 이용하여 $(x, y)$ 좌표를 회전 변환을 하면 다음과 같습니다.

\[\begin{bmatrix} \text{cos}\theta & -\text{sin}\theta \\ \text{sin}\theta & \text{cos}\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \text{cos}\theta - y \text{sin}\theta \\ x \text{sin}\theta + y \text{cos}\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}\]

위 식을 이용하여 회전 변환한 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

$Drawing$

자주 사용하는 회전인 90도 회전 / 180도 회전 / 270도 회전은 다음과 같습니다.

\[R(\frac{\pi}{2}) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]
\[R(\frac{\pi}{2}) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\]
\[R(\frac{3\pi}{2}) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\]

회전 변환 행렬 유도

회전 변환을 다루는 방법에 대해서는 위 글에서 다루었습니다. 그러면 왜 저런 형태의 행렬식이 유도되었는 지에 대하여 다루어 보겠습니다.

$Drawing$

먼저 앞에서 다룬 회전 변환은 원점을 기준으로 회전을 하게 됩니다. 따라서 위 그림에서도 원점을 중심으로 P가 P'로 어떻게 변환되는 지 다루어 보도록 하겠습니다.
아래 식에서 $P, \overline{OP}, \text{cos}(\alpha), \text{sin}(\alpha)$를 정의해 보겠습니다.

\[P = (x, y)\]
\[\overline{OP} = l = \sqrt{(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2})} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\]
\[\text{cos}(\alpha) = \frac{x}{\overline{OP}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\]
\[\text{sin}(\alpha) = \frac{y}{\overline{OP}} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\]

위 식을 그대로 이용하여 $P'$에 적용해 보도록 하겠습니다. $P' = (x', y')$는 $P = (x, y)$를 $+\theta$ 만큼 회전 시킨 것이므로 회전 각도 만큼 반영해여 식을 적어보겠습니다.

\[x' = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \text{cos}(\alpha + \theta)\]
\[y' = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \text{sin}(\alpha + \theta)\]

$Drawing$

삼각함수의 덧셈 정리를 이용하여 식을 풀어보도록 하겠습니다.

\[x' = \sqrt{x^{2} + y^{2}}(\text{cos}(\alpha)\text{cos}(\theta) -\text{sin}(\alpha)\text{sin}(\theta)) = \Biggl(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\text{cos}(\theta) - \sqrt{x^{2} + y^{2}}\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\text{sin}(\theta) \Biggr) = x\text{cos}(\theta) - y\text{sin}(\theta)\]

\[y' = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\text{sin}(\alpha + \theta) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}(\text{sin}(\alpha)\text{cos}(\theta) + \text{cos}(\alpha)\text{sin}(\theta)) = \Biggl(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\text{cos}(\theta) + \sqrt{x^{2} + y^{2}}\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\text{sin}(\theta) \Biggr) = y\text{cos}(\theta) + x\text{sin}(\theta)\]

위에서 유도한 식을 정리하면 다음과 같습니다.

\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{cos}\theta & -\text{sin}\theta \\ \text{sin}\theta & \text{cos}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]

임의의 점을 중심으로 회전 변환

앞에서 다룬 내용은 모두 원점을 기준으로 회전한 것입니다. 좀 더 일반적인 케이스를 적용하기 위해 기준이 원점이 아니라 특정 좌표를 기준으로 회전 시켜보도록 하겠습니다.

$Drawing$

위 그림을 보면 원점을 기준으로 30도 회전한 것을 알 수 있습니다.

$Drawing$

반면에 위 그림에서는 회전한 기준을 보면 (1, 0)임을 알 수 있습니다.

$Drawing$

지금부터 해야할 작업은 위 그림 처럼 기준점에서 각 점 방향으로의 벡터를 회전하는 것입니다. (물론 반시계 방향 회전이 + 회전 각도 입니다.)

$Drawing$

① 기준점을 $v_{0} = (x_{base}, y_{base})$ 이라고 하면 각 점 방향으로의 벡터는 $v_{i} - v_{0} = (x_{i} - x_{base}, y_{i} - y_{base})$이 됩니다.
② 이 벡터를 앞에서 알아본 변환 행렬을 이용하여 회전 시키면 됩니다.

\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{cos}\theta & -\text{sin}\theta \\ \text{sin}\theta & \text{cos}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - x_{base} \\ y - y_{base} \end{pmatrix}\]

여기 까지 계산 하면 ($(0, 0)$ → $(x - x_{base}, y - y_{base})$) 방향과 크기의 벡터가 $\theta$ 만큼 회전하여 $(x', y')$가 되었습니다.
③ 벡터의 시작점을 회전 기준인 $(x_{base}, y_{base})$으로 옮겨줍니다.
①, ②, ③ 과정을 식으로 옮기면 다음과 같습니다.

\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{cos}\theta & -\text{sin}\theta \\ \text{sin}\theta & \text{cos}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - x_{base} \\ y - y_{base} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_{base} \\ y_{base} \end{pmatrix}\]

3D에서의 회전 변환

3D에서의 회전 변환은 2차원에서 사용한 회전 변환 행렬을 유사하게 사용합니다. 다만 이 때, 3차원에 맞춰서 행렬의 차원이 늘어나게 되고 각 차원별로 회전을 고려해 주어야 합니다.
예를 들어서 $R_{x}(\theta)$는 x축을 중심으로 회전하는 행렬 변환이고 $R_{y}(\theta)$는 y축을 중심으로 $R_{z}(\theta)$는 z축을 중심으로 회전하는 행렬 변환입니다.

\[R_{x}(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \text{cos}\theta & -\text{sin}\theta \\ 0 & \text{sin}\theta & \text{cos}\theta \end{bmatrix}\]
\[R_{y}(\theta) = \begin{bmatrix} \text{cos}\theta & 0 & \text{sin}\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\text{sin}\theta & 0 & \text{cos}\theta \end{bmatrix}\]
\[R_{z}(\theta) = \begin{bmatrix} \text{cos}\theta & -\text{sin}\theta & 0 \\ \text{sin}\theta & \text{cos}\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

이 행렬을 정리해 보려고 하는데, 그 전에 roll, yaw, pitch에 대하여 알아보겠습니다.

$Drawing$

일반적으로 roll은 x축을 기준으로 회전한 양을 뜻하고 pitch는 y축을 기준으로 회전한 양 그리고 yaw는 z축을 기준으로 회전한 양을 뜻합니다. 위 그림처럼 생각하시면 됩니다.
- 예를 들어 자동차가 좌회전 또는 우회전을 한다면 z축을 기준으로 회전을 하는 것이므로 yaw의 변화가 있게 됩니다.
그러면 $R_{x}(\theta)$, $R_{y}(\theta)$ 그리고 $R_{z}(\theta)$ 각각 x축, y축, z축을 기준으로 회전하는 회전 변환 행렬이 됩니다.
x축을 기준으로 회전한 roll angle을 $\gamma$, y축을 기준으로 회전한 pitch angle을 $\beta$ 마지막으로 z축을 기준으로 회전한 yaw angle을 $\alpha$로 두겠습니다.

\[R = R_{z}(\alpha)R_{y}(\beta)R_{x}(\gamma) = \begin{bmatrix} \text{cos}\alpha & -\text{sin}\alpha & 0 \\ \text{sin}\alpha & \text{cos}\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{cos}\beta & 0 & \text{sin}\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\text{sin}\beta & 0 & \text{cos}\beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \text{cos}\gamma & -\text{sin}\gamma \\ 0 & \text{sin}\gamma & \text{cos}\gamma \end{bmatrix}\]

위 변환 행렬을 모두 곱하면 roll, pitch, yaw angle을 모두 고려한 회전을 나타낼 수 있습니다.
위 식을 풀어서 나타내면 다음과 같습니다.

\[R = \begin{bmatrix} \text{cos}\alpha \ \text{cos}\beta & \text{cos}\alpha \ \text{sin}\beta \ \text{sin}\gamma - \text{sin}\alpha \ \text{cos}\gamma & \text{cos}\alpha \ \text{sin}\beta \ \text{cos}\gamma + \text{sin}\alpha \ \text{sin}\gamma \\ \text{sin}\alpha \ \text{cos}\beta & \text{sin}\alpha \ \text{sin}\beta \ \text{sin}\gamma + \text{cos}\alpha \ \text{cos}\gamma & \text{sin}\alpha \ \text{sin}\beta \ \text{cos}\gamma - \text{cos}\alpha \ \text{sin}\gamma \\ -\text{sin}\beta & \text{cos}\beta \ \text{sin} \gamma & \text{cos}\beta \ \text{cos} \gamma \\ \end{bmatrix}\]

회전 변환 행렬의 직교성

지금까지 살펴본 rotation 행렬은 orthogonal 행렬이며 다음과 같은 성질을 따릅니다.

\[R^{T} = R^{-1}\]
\[R^{T} R = I\]

orthogonal 또는 orthonormal인 행렬 $Q$ 가 있을 때, $QQ^{T} = Q^{T}Q = I$ 임은 필요충분 조건임이 알려져 있습니다.
앞에서 살펴본 2D, 3D 회전 변환 행렬의 경우도 $RR^{T} = R^{T}R = I$ 를 만족하며 일반적으로 orthogonal 형태이므로 orthogonal 하다고 말할 수 있습니다.
또한 orthogonal한 경우 determinant가 1을 만족하는데 이 조건에도 만족하게 됩니다.

$Drawing$

위 계산 결과와 같이 2D 회전 변환 행렬 $R$ 의 $RR^{T} = I$ 임을 확인할 수 있습니다.

3D 회전 변환 행렬의 경우 간단히 det(R) = I 임을 통해 orthogonal임을 확인해 보겠습니다.
아래 식과 같이
\[R = R_z(\alpha)\,R_y(\beta)\,R_x(\gamma)\]
\[R^T\,R=(R_z\,R_y\,R_x)^T\,(R_z\,R_y\,R_x)=R_x^T\,R_y^T\,R_z^T\,R_z\,R_y\,R_x\]
\[R_{x}^{T}R_{X} = I\]
\[R_{y}^{T}R_{y} = I\]
\[R_{z}^{T}R_{z} = I\]
\[\therefore R^{T}R = I\]
\[\text{plus, } \det(R)=\det(R_z)\,\det(R_y)\,\det(R_x)=1\times 1\times 1=1\]

아래와 같이 3D 회전 변환 행렬의 각 방향의 $R_{x}, R_{y}, R_{z}$ 의 determinant는 1임을 확인할 수 있습니다.

$Drawing$

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